[Toán 8]Tìm các số x,y,z biết

[nguyenphuongthao28598]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1; Tìm các số x,y,z biết

x^2 + y^2 + z^2= xy+yz+zx

và x^2009 + y^2009 + z^2009 = 3^2010

Bài 2; Chứng minh rằng
Nếu a,b,c là các số dương thỏa mãn 1/a + 1/b + 1/c \geq a+b+c thì ta có bất đẳng thức
a+b+c\geq3abc

Bài 3 cho a,b là số dương va a^2000+b^2000=a^2001+b^2001=a^2002+b^2002

Tính a^2011+b^2011

 

[longvtpro123]

Bài 1:
Ta có [TEX]\mathit{x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx \forall x,y,z \in \mathbb{ R}}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\mathit{\Leftrightarrow x=y=z}[/TEX]
Vậy theo đề bài thì x = y = z
Nên [TEX]\mathit{x^{2009} + y^{2009} + z^{2009} = 3^{2010}}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow 3.x^{2009} = 3.3^{2009}}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow x^{2009} = 3^{2009}}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow x = 3}[/TEX]
Vậy, [TEX]\mathit{x = y = z = 3}[/TEX]
Bài 3:
Ta có [TEX]\mathit{a^{2002} + b^{2002} = a^{2002} + b^{2002} + a^{2001}b + b^{2001}a - a^{2001}b - b^{2001}a}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow a^{2002} + b^{2002} = a^{2001}(a+b) + b^{2001}(a+b) - ab(a^{2000} + b^{2000})}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow a^{2002} + b^{2002} = (a+b)(a^{2002} + b^{2002}) - ab(a^{2002} + b^{2002})}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow a^{2002} + b^{2002} = (a^{2002} + b^{2002})(a + b - ab)[/TEX]
Hoặc [TEX]\mathit{a^{2002} + b^{2002} = 0 \Leftrightarrow a=b=0 [/TEX](không TMĐK a,b là các số dương) hoặc [TEX]\mathit{a + b - ab = 1}[/TEX]
Vậy [TEX]\mathit{a + b - ab - 1 = 0}[/TEX]
[TEX]\mathit{\Leftrightarrow (a-1)(b-1) = 0}[/TEX]
Vậy a = 1 hoặc b = 1
Xét a = 1 thì b = 1 (chọn) hoặc b = 0 (loại)
Tương tự với b = 1 thì a = 1 (chọn) hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = b = 1.
Vậy, [TEX]\mathit{a^{2011} + b^{2011} = 1^{2011} + 1^{2011} = 1 + 1 = 2}[/TEX]

 

[khaitien]

Tại bài 1 , bài 3 bạn kia làm rồi , còn mỗi bài 2 (bài khó nhất ) cho mình nhưng nhớ cảm ơn mình nha .
Nhân cả 2 vế của BĐT đã cho với [TEX]\frac{3abc}{a+b+c}[/TEX] ta có :
[TEX]\frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c} \geq 3abc [/TEX]
Ta phải c/m a+b+c \geq [TEX]\frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c }[/TEX] (1)
(1)\Leftrightarrow [TEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca[/TEX] (luôn đúng )
\Rightarrow đpcm