[Toán 8] tam giác

[thaothatngoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Một đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh: 4/9 diện tích ABC \leq diện tích AMN \leq 1/2 diện tích ABC

chú ý tiêu đề [Môn+ lớp]
Tái phạm xóa bài

 

[huynhbachkhoa23]

$\Delta ABC$ như hình vẽ

1. Tính diện tích nhỏ nhất của $\Delta AMN$: khi $GM=GN$

Kẻ đường thẳng bất kỳ không trùng với $MN$ cắt $AB, AC$ tại $M', N'$
Kẻ $MP//NN'$
$GM=GN, \widehat{MGP}=\widehat{N'GN}, \widehat{PMG}=\widehat{N'NG}$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $\Delta GPM = \Delta GN'N$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $S_{GPM}=S_{GN'N}$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $S_{AM'N'}>S_{AMN}$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $S_{AMN}$ nhỏ nhất khi $GM=GN$
$GM=GN$ [TEX]\Rightarrow[/TEX] $AG$ là trung tuyến
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $MN//BC$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $\Delta AMN \sim \Delta ABC$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $S_{AMN}=(\frac{AG}{AM})^2 S_{ABC}=\frac{4}{9}S_{ABC}$

 

[huynhbachkhoa23]

$\Delta ABC$ như hình vẽ

2. Tính diện tích lớn nhất của $\Delta AMN$: khi $MN$ trùng với $BE$ hay $CF$

TH $GM>GN$:
Kẻ $MP//NE$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $\Delta GMP \sim \Delta GNE$
vì $GM>GN$
[TEX]\Rightarrow[/TEX] $S_{GMP}>S_{GNE}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $S_{GMB}>S_{GNE}$
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] $S_{BAE}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}>S_{AMN}$
Vậy khi $MN$ không trùng với $BE$ hay $CF$ thì $S_{AMN}<\frac{1}{2}S_{ABC}$

TH $GM<GN$: Làm tương tự

Vậy $S_{AMN}$ lớn nhất khi $MN$ trùng với $BE$ hay $CF$ và bằng $\frac{1}{2}S_{ABC}$

Kết hợp với bài 1 mình làm ở trên ta kết luận:
$\frac{4}{9}S_{ABC}$ [TEX]\leq[/TEX] $S_{AMN}$ [TEX]\leq[/TEX] $\frac{1}{2}S_{ABC}$