[toán 8] tam giác...

[123khanhlinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC, 3 đường phân giác: AD; BE; CF. Chứng minh rằng:
a/ $\dfrac{DB}{DC} . \dfrac{EC}{EA} . \dfrac{AF}{FB} = 1$
b/ $\dfrac{1}{AD} + \dfrac{1}{BE} + \dfrac{1}{CF} > \dfrac{1}{BC} + \dfrac{1}{CA} + \dfrac{1}{AB}$

 

[nhuquynhdat]

a) Ta có $\dfrac{BD}{CD}= \dfrac{AB}{AC}$

$\dfrac{EC}{AE}= \dfrac{BC}{AB}$

$\dfrac{AF}{BF}= \dfrac{AC}{BC}$

nhân theo về được $\dfrac{DB}{DC} . \dfrac{EC}{EA} . \dfrac{AF}{FB} = 1$

 

[0973573959thuy]

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở K.
Ta có : $\widehat{ACK} = \widehat{CAD}$ ( 2 góc so le trong, AD // CK)
$\widehat{AKC} = \widehat{BAD}$ (2 góc đồng vị, AD // CK)

Mà $\widehat{CAD} = \widehat{BAD} (gt)$ nên $\widehat{AKC} = \widehat{KCA}$

$\rightarrow \Delta{CAK}$ cân tại A $\rightarrow AK = AC$

Đặt Ak = AC = b; AB = c; BC = a; AD = x

$AD // CK \rightarrow \dfrac{AD}{CK} = \dfrac{AB}{BK} = \dfrac{c}{b + c}$

Xét tam giác ACK có : CK < AK + AC = 2b (theo BĐT tam giác)

$\rightarrow AD = \dfrac{c}{b + c}.CK < \dfrac{2bc}{b + c}$

$\rightarrow \dfrac{1}{AD} > \dfrac{b + c}{2bc} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c})$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng được :
$\dfrac{1}{BE} > \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a})$ (2)

$\dfrac{1}{CF} > \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a})$ (3)

Từ (1); (2) và (3) ta có đpcm