[Toán 8] Rút gọn

[conbaodn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm biểu thức ngắn gọn hơn cho tích sau đây:
$P_n=(1-\frac{4}{1}(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2n-1)^2})$
Biết rằng nó đúng với $n\ \ge \ 1 $

 

[qthang1998]

Giải:

Viết dạng tổng quát :
$1-\frac{4}{(2n-1)^{2}}$
$=(1-\frac{2}{2n-1})(1+\frac{2}{2n-1})$
$=\frac{2n-3}{2n-1}.\frac{2n+1}{2n-1}$
Ta có:
$P_{n}=(1-\frac{4}{1})(1-\frac{4}{9})(1-\frac{4}{25})...(1-\frac{4}{(2n-1)^{2}})$
$=-1.3.\frac{1}{3}.\frac{5}{3}.\frac{3}{5}.\frac{7}{5}...\frac{2n-3}{2n-1}.\frac{2n+1}{2n-1}$
$=\frac{2n+1}{1-2n}$