[Toán 8] Rút gọn, chứng minh

[quyduongvp02]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Rút gọn biểu thức

a) $(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2$

b) $(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2$

c) $(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-c-b)^2$

2)CMR:$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)$ với x,y,z khác 0 thì $\dfrac{a}{x}= \dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

3)Cho $(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)$ .CMR $a=b=c$

4)Cho $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$.CMR $a=b=c$

Chú ý Tiêu đề + Latex

 

[maianhquynh1232002@gmail.com]

3)Cho (a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2).CMR a=b=c
Ta có: [TEX](a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3a^2-3b^2-3c^2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=b=c[/TEX](đpcm)
4)Cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca).CMR a=b=c
Ta có: [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a=b=c[/TEX] (đpcm)
Gộp bài

 

[iceghost]

$a) (a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2 \; (1)$
Đặt $x = b-c$
$(1) =(a+x)^2 +(a-x)^2 - 2x^2 \\
= a^2+2ax + x^2 + a^2 - 2ax + x^2 - 2x^2 \\
= 2a^2$

$b)(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2 \; (2)$
Đặt $x = a-b-c \\
y = b-c-a \\
z = c-a-b$
$\implies x+y+z = -(a+b+c) \\
\implies (x+y+z)^2 = (a+b+c)^2$
$(2) = (x+y+z)^2 + x^2 + y^2 + z^2 \\
= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz + x^2 + y^2 + z^2 \\
= (x^2+2xy+y^2)+(y^2+2yz+z^2)+(x^2+2xz+z^2) \\
= (x+y)^2 + (y+z)^2 + (x+z)^2 \\
= (a-b-c+b-c-a)^2 + (b-c-a+c-a-b)^2 + (a-b-c+c-a-b)^2 \\
= (-2c)^2 + (-2a)^2 + (-2b)^2 \\
= 4a^2+4b^2+4c^2$

 

[minhmai2002]

Đề đúng là CMR $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$ với $x,y,z$ khác $0$ thì $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

Giải

Từ $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$

$\longrightarrow$ $a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2axcz+2bycz$

$\longrightarrow$ $a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2axcz+2bycz$

$\longrightarrow$ $a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2axcz-2bycz=0$

$\longleftrightarrow$ $(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(a^2z^2-2axcz+c^2x^2)+(b^2z^2-2bycz+c^2y^2)=0$

$\longleftrightarrow$ $(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2=0$

$\begin{cases} & ay=bx \\ & az=cx \\ & bz=cy \end{cases}$

$\longrightarrow$ $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$