L
locxoaymgk
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
phân tích đa thức bậc 4 thành nhân tử
Để phân tích đa thức thành nhân tử ,cách thông thường là khéo léo phân tích đa thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung.Việc tìm nhân tử chung không hề dễ dàng đối với đa thức bậc 4 .Bài này trình bày PP phân tích một số dạng đa thức bậc 4 thành nhân tử nhờ cách đặt biến phụ một lần hoặc nhiều lần khiến cho quá trình phân tích tìm nhân tử dể dàng hơn.Chú ý rằng PP này có thể thực hiện ở lớp 7,8 khi chưa biết cách giải PT bậc 2.
Ta cần biết HĐT cơ sở sau:
Xét đa thức[TEX] Q(y)=ay^2+by+c[/TEX].nếu có các hệ số [TEX]m,n [/TEX]sao cho
[TEX] m.n=ac[/TEX] và [TEX]m+n=b[/TEX]
thì [TEX]ay^2+by+c=ay^2+(m+n)y+\frac{mn}{a}[/TEX]
hay [TEX]ay^2+by+c=a(y+\frac{m}{a})(y+\frac{n}{a})[/TEX] (*)
Nói riêng khi [TEX]a=1[/TEX] thì
[TEX] y^2+by+c=(y+m)(y+n)[/TEX]
Trong TH [TEX]a,b,c[/TEX] nguyên thì trước hết phân ticha số nguyên ac thành tích 2 số nguyên[TEX] m.n[/TEX] sao cho [TEX]|m|<b,|n|<b[/TEX] sau đó chọn [TEX]m,n[/TEX] thỏa mãn [TEX]m+n=b[/TEX]
Dưới đây ta xét một số dạng phân tích đa thức bậc 4 có thể phân tích thành nhân tử bằng cách đặt biến phụ và sử dụng HĐT trên.
1, Đa thức dạng [TEX]P(x)=ax^4+bx^2+c[/TEX]
Cách giải : Đặt biến phụ[TEX] y=x^2[/TEX] và áp dụng HĐT (*)
thí dụ 1, phân tích ĐTTNT: [TEX]6x^4+19x^2+15[/TEX]
giải: đặt [TEX]y=x^2[/TEX] ta có đa thức [TEX]6y^2+19y+15[/TEX]
tìm [TEX]m [/TEX]và [TEX]n[/TEX] sao cho [TEX]m.n=90[/TEX] và[TEX] m+n=19[/TEX] với[TEX] m,n<19[/TEX]
ta có m=10,n=9
ta có 6y^2+19y+15=6y^2+9y+10y+15=(2y+3)(3ỵ+5)
\Rightarrow x6x^4+19x^2+15= (2x^2+3)(3x^2+5)
2, đa thức dạng
[TEX]P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e[/TEX] với[TEX] a+b=c+d[/TEX]
cách giải: Đặt biến phụ[TEX] y=(x+a)(x+b)[/TEX] và áp dụng HDT (*) .có thể đặt [TEX]y= (x+c)(x+d)[/TEX]
hoặc [TEX]y=x^2+(a+b)x.[/TEX]
thí dụ : phân tích đa thức
[TEX] P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-15[/TEX] thành nhân tử
lời giải: Với [TEX]a=1,b=4,c=2,d=3 \Rightarrow a+b=5=c+d.[/TEX]
Ta có: [TEX]P(x)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-15=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-15[/TEX]
Đặt [TEX]y=(x+1)(x+4)=x^2+5x+4)[/TEX] thì [TEX]P(x)[/TEX] trở thành:
[TEX] Q(y)=y(y+2)-15=y^2+2y-15[/TEX]
Áp dụng HĐT (*) với m=5;n=-3 có
[TEX] Q(y)=(y+5)(y-3)[/TEX]. Từ đó suy ra[TEX] P(x)=(x^2+5x+9)(x^2+5x+1)[/TEX]
3, Đa thức dạng:
[TEX]P(x)=(a_1x+a_2)(b_1x+b_2)(c_1x+c_2)(d_1x+d_2)[/TEX]
Với[TEX] a_1b_1=c_1d_1 and a_2b_2=c_2d_2[/TEX]
cách giải: đặt biến phụ[TEX] y=(a_1x+a_2)(b_1x+b_2) [/TEX]và áp dụng HDT(*)
có thể đặt[TEX] y=(c_1x+c_2)(d_1x+d_2)[/TEX]
thí dụ: phân tích đa thức thành nhân tử:
[TEX]P(x)=(3x+2)(3x-5)(x-1)(9x+10)+24x^2[/TEX]
cách giải: ta thấy [TEX]a_1b_1=3.3=1.9=c_1d_1[/TEX] và [TEX]a_2b_2=2(-5)=-10=c_2d_2[/TEX]
đặt[TEX] y (3x+2)(3x-5)=9x^2-9x-10[/TEX] thì [TEX]P(x)[/TEX] trở thành [TEX]Q(y)=y(y+10x)+24x^2=y^2+10xy+24x^2[/TEX]. ta có[TEX] m=6x,n=4x[/TEX].Áp dụng HĐT (*) ta có
[TEX] Q(y)=(y+6x)(y+4x)[/TEX]\Rightarrow[TEX] P(x)=(9x^2-3x-10)(9x^2-5x-10)[/TEX]
còn 3 TH nưa hum sau post tiếp........................
Để phân tích đa thức thành nhân tử ,cách thông thường là khéo léo phân tích đa thức đó thành các hạng tử có nhân tử chung.Việc tìm nhân tử chung không hề dễ dàng đối với đa thức bậc 4 .Bài này trình bày PP phân tích một số dạng đa thức bậc 4 thành nhân tử nhờ cách đặt biến phụ một lần hoặc nhiều lần khiến cho quá trình phân tích tìm nhân tử dể dàng hơn.Chú ý rằng PP này có thể thực hiện ở lớp 7,8 khi chưa biết cách giải PT bậc 2.
Ta cần biết HĐT cơ sở sau:
Xét đa thức[TEX] Q(y)=ay^2+by+c[/TEX].nếu có các hệ số [TEX]m,n [/TEX]sao cho
[TEX] m.n=ac[/TEX] và [TEX]m+n=b[/TEX]
thì [TEX]ay^2+by+c=ay^2+(m+n)y+\frac{mn}{a}[/TEX]
hay [TEX]ay^2+by+c=a(y+\frac{m}{a})(y+\frac{n}{a})[/TEX] (*)
Nói riêng khi [TEX]a=1[/TEX] thì
[TEX] y^2+by+c=(y+m)(y+n)[/TEX]
Trong TH [TEX]a,b,c[/TEX] nguyên thì trước hết phân ticha số nguyên ac thành tích 2 số nguyên[TEX] m.n[/TEX] sao cho [TEX]|m|<b,|n|<b[/TEX] sau đó chọn [TEX]m,n[/TEX] thỏa mãn [TEX]m+n=b[/TEX]
Dưới đây ta xét một số dạng phân tích đa thức bậc 4 có thể phân tích thành nhân tử bằng cách đặt biến phụ và sử dụng HĐT trên.
1, Đa thức dạng [TEX]P(x)=ax^4+bx^2+c[/TEX]
Cách giải : Đặt biến phụ[TEX] y=x^2[/TEX] và áp dụng HĐT (*)
thí dụ 1, phân tích ĐTTNT: [TEX]6x^4+19x^2+15[/TEX]
giải: đặt [TEX]y=x^2[/TEX] ta có đa thức [TEX]6y^2+19y+15[/TEX]
tìm [TEX]m [/TEX]và [TEX]n[/TEX] sao cho [TEX]m.n=90[/TEX] và[TEX] m+n=19[/TEX] với[TEX] m,n<19[/TEX]
ta có m=10,n=9
ta có 6y^2+19y+15=6y^2+9y+10y+15=(2y+3)(3ỵ+5)
\Rightarrow x6x^4+19x^2+15= (2x^2+3)(3x^2+5)
2, đa thức dạng
[TEX]P(x)=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e[/TEX] với[TEX] a+b=c+d[/TEX]
cách giải: Đặt biến phụ[TEX] y=(x+a)(x+b)[/TEX] và áp dụng HDT (*) .có thể đặt [TEX]y= (x+c)(x+d)[/TEX]
hoặc [TEX]y=x^2+(a+b)x.[/TEX]
thí dụ : phân tích đa thức
[TEX] P(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-15[/TEX] thành nhân tử
lời giải: Với [TEX]a=1,b=4,c=2,d=3 \Rightarrow a+b=5=c+d.[/TEX]
Ta có: [TEX]P(x)=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-15=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-15[/TEX]
Đặt [TEX]y=(x+1)(x+4)=x^2+5x+4)[/TEX] thì [TEX]P(x)[/TEX] trở thành:
[TEX] Q(y)=y(y+2)-15=y^2+2y-15[/TEX]
Áp dụng HĐT (*) với m=5;n=-3 có
[TEX] Q(y)=(y+5)(y-3)[/TEX]. Từ đó suy ra[TEX] P(x)=(x^2+5x+9)(x^2+5x+1)[/TEX]
3, Đa thức dạng:
[TEX]P(x)=(a_1x+a_2)(b_1x+b_2)(c_1x+c_2)(d_1x+d_2)[/TEX]
Với[TEX] a_1b_1=c_1d_1 and a_2b_2=c_2d_2[/TEX]
cách giải: đặt biến phụ[TEX] y=(a_1x+a_2)(b_1x+b_2) [/TEX]và áp dụng HDT(*)
có thể đặt[TEX] y=(c_1x+c_2)(d_1x+d_2)[/TEX]
thí dụ: phân tích đa thức thành nhân tử:
[TEX]P(x)=(3x+2)(3x-5)(x-1)(9x+10)+24x^2[/TEX]
cách giải: ta thấy [TEX]a_1b_1=3.3=1.9=c_1d_1[/TEX] và [TEX]a_2b_2=2(-5)=-10=c_2d_2[/TEX]
đặt[TEX] y (3x+2)(3x-5)=9x^2-9x-10[/TEX] thì [TEX]P(x)[/TEX] trở thành [TEX]Q(y)=y(y+10x)+24x^2=y^2+10xy+24x^2[/TEX]. ta có[TEX] m=6x,n=4x[/TEX].Áp dụng HĐT (*) ta có
[TEX] Q(y)=(y+6x)(y+4x)[/TEX]\Rightarrow[TEX] P(x)=(9x^2-3x-10)(9x^2-5x-10)[/TEX]
còn 3 TH nưa hum sau post tiếp........................
Last edited by a moderator: