[Toán 8] Pic giải đề thi hsg các trường

[chuotdelux]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Để chuẩn bị cho kì thi hsg toán 8, mình và các bạn cùng giải đề của các trường khác các năm trước nhé!

Mình sẽ giải trước một số bài mình biết làm. Các bạn còn lại nhờ các bạn giải giúp. Nếu các bạn mình giải rồi mà các bạn có cách giải khác thì post lên mọi người cùng học hỏi nhé!

Đề 1 :

Thân,

Chuotdelux

 

[chuotdelux]

Bài 1 :

a) $\dfrac{2a + 1}{a^2(a + 1)^2} = \dfrac{(a + 1)^2 - a^2}{a^2(a + 1)^2} = \dfrac{1}{a^2} - \dfrac{1}{(a + 1)^2}$

b) Áp dụng kết quả câu a có :

$M = \dfrac{1}{1^2} - \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{3^2} + .... + \dfrac{1}{2012^2} - \dfrac{1}{2013^2}$

$\leftrightarrow M = 1 - \dfrac{1}{2013^2} < 1$

Bài 4 :

$Q = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \dfrac{10}{a^2b^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm $a^2; b^2$ được :

$(a^2 + b^2)^2$ \geq $4a^2b^2$

$\rightarrow 4a^2b^2$ \leq $(a^2 + b^2)^2 = 10^2 = 100$

$\rightarrow a^2b^2$ \leq 25

\Rightarrow $Q = \dfrac{10}{a^2b^2}$ \geq $\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a^2 = b^2 = 5$

Vậy Min Q = $\dfrac{2}{5} \leftrightarrow a^2 = b^2 = 5$

 

[thaolovely1412]

Bài 2
Ta có: n = 2k , vì n là số nguyên chẵn ;
\Rightarrow [TEX]n^3 - 28n = (2k)^3- 28(2k) = 8k^3- 56k = 8k ( k^2- 7) = 8k( k^2- 1 -6 ) = 8k(k2 -1) - 48k = 8k(k-1)(k+1) - 48k [/TEX]
Ta thấy: [TEX]k(k-1)(k+1)[/TEX] là tích ba số nguyên liên tiếp trong đó có một số chia hết
cho 2; một số chia hết cho 3, nên [TEX]k(k-1)(k+1)[/TEX] chia hết 6;
\Rightarrow [TEX]8k(k-1)(k+1)[/TEX] chia hết cho 48
mà 48k chia hết cho 48
\Rightarrow dpcm

 

[vipboycodon]

Bài 3:
a. $P = (\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x^2-x}) : (\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x^2-1})$
= $[\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x(x-1)}] : [\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}]$
= $[\dfrac{x^2+1}{x(x-1)}] : [\dfrac{x-1+2}{(x-1)(x+1)}]$
= $\dfrac{x^2+1}{x(x-1)} : \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}$
= $\dfrac{x^2+1}{x(x-1)} . \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}$
= $\dfrac{x^2+1}{x}$

 

[lamdetien36]

Bài 5:
a)
AD là tia phân giác của tam giác ABC ==> $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{CD}{AC} = \dfrac{BD + CD}{AB + AC} = \dfrac{BC}{AB+AC} = \dfrac{4a}{2a+3a} = \dfrac{4}{5}$
$<=>\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{4}{5}$
$<=>BD = \dfrac{4}{5}2a = \dfrac{8a}{5}$
b)
AI là tia phân giác của tam giác ABE ==> $\dfrac{BI}{AB} = \dfrac{IE}{AE} <=> \dfrac{BI}{IE} = \dfrac{AB}{AE}$ (1)
Tương tự ta có: $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2a}{4a} = \dfrac{1}{2} <=> \dfrac{AE}{1} = \dfrac{EC}{2} = \dfrac{AE + EC}{1 + 2} = \dfrac{AC}{3} <=> AE = \dfrac{1}{3}AC = a$
Thay vào (1), ta có:
$\dfrac{BI}{IE} = \dfrac{2a}{a} = 2 <=> \dfrac{BI}{2} = \dfrac{IE}{1} = \dfrac{BI + IE}{2 + 1} = \dfrac{BE}{3} <=> BI = \dfrac{2}{3}BE.$
G là trọng tâm của tam giác ABC ==> $\dfrac{BG}{BM} = \dfrac{2}{3}$
Suy ra IG // AC (theo định lý Talet)
c)
$S_{EIG} = \dfrac{S_{EBG}}{3} = \dfrac{\dfrac{2}{3}S_{BEM}}{3} = \dfrac{2}{9}S_{BEM}$
$S_{EGM} = \dfrac{S_{BEM}}{3}$
$=> S_{IEMG} = \dfrac{5}{9}S_{BEM}$ (1)
M là trung điểm AC ==> $AM = \dfrac{AC}{2} = 1,5a$
$EM = AM - AE = 1,5a - 1a = 0,5a$
$=> \dfrac{S_{BEM}}{S_{ABC}} = \dfrac{0,5}{3} = \dfrac{1}{6}$(2)
(1), (2) => $\dfrac{S_{IEMG}}{S_{ABC}} = \dfrac{5}{54}$

Không biết có đúng không nữa

 

[hoamattroi_3520725127]

Bài 3 :

b) $P > - 1 \leftrightarrow \dfrac{x^2 + 1}{x} > \dfrac{-x}{x} \leftrightarrow x^2 + 1 > - x \leftrightarrow x^2 + 1 + x = x^2 + 2.x.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = (x + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} > 0$ (luôn đúng \forall x $\in R)$

$\rightarrow P > - 1$ \forall $x \in R$

c) $|P| = 2 \leftrightarrow \dfrac{x^2 + 1}{x} = 2$ hoặc $\dfrac{x^2 + 1}{x} = - 2$

Giải từng phương trình được : x = 1 hoặc x = - 1.

 

[buithinhvan77]

Câu 2b có thể làm như sau!

Bài 1 :

a) $\dfrac{2a + 1}{a^2(a + 1)^2} = \dfrac{(a + 1)^2 - a^2}{a^2(a + 1)^2} = \dfrac{1}{a^2} - \dfrac{1}{(a + 1)^2}$

b) Áp dụng kết quả câu a có :

$M = \dfrac{1}{1^2} - \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{3^2} + .... + \dfrac{1}{2012^2} - \dfrac{1}{2013^2}$

$\leftrightarrow M = 1 - \dfrac{1}{2013^2} < 1$

Bài 4 :

$Q = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \dfrac{10}{a^2b^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm $a^2; b^2$ được :

$(a^2 + b^2)^2$ \geq $4a^2b^2$

$\rightarrow 4a^2b^2$ \leq $(a^2 + b^2)^2 = 10^2 = 100$

$\rightarrow a^2b^2$ \leq 25

\Rightarrow $Q = \dfrac{10}{a^2b^2}$ \geq $\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a^2 = b^2 = 5$

Vậy Min Q = $\dfrac{2}{5} \leftrightarrow a^2 = b^2 = 5$

Câu 2b có thể giải bằng cách áp dụng: [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
Khi đó [TEX]Q \geq \frac{4}{a^2+b^2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}[/TEX]