[Toán 8]Phương trình vô tỉ

[thienlong_cuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

9 BÀI !
MỚI HẠ ĐC 6 BÀI CÒN 3 ! HUUUHUUUUUUU
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU
bài 1)
[TEX]x^2 + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt{x^2 +1}[/TEX]

bài 2)
[TEX]\sqrt{4 - 3\sqrt{10 - 3x}} = x - 2[/TEX]

Bài 3)

[TEX]2\sqrt{(2 - x)(5 - x)} = x + \sqrt{(2 - x)(10 - x)}[/TEX]

Bài 4)

[TEX]\sqrt[3]{x^2 + 4} = \sqrt{x - 1} + 2x + 3[/TEX]

bài 5 )

[TEX]\sqrt[3]{x^2 - 1} + \sqrt{3x^3 - 2} = 3x - 2[/TEX]

Bài 6)

[TEX]2x^2 - 11x + 21 - 3\sqrt[3]{4(x - 1)} = 0[/TEX]

bài 7)

[TEX]\sqrt{2x^2 - 1} + \sqrt{x^2 - 3x - 2} = \sqrt{2x^2 + 2x + 3} + \sqrt{x^2 - x + 2}[/TEX]

bài 8)

[TEX]\sqrt{2x^2 + 16x + 18} + \sqrt{x^2 - 1} = 2x + 4[/TEX]

Bài 9)

[TEX]\sqrt{x^2 + 15} = 3x - 2 + \sqrt{x^2 + 8} [/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

bài 3)

[tex]2\sqrt{(2 - x)(5 - x)} = x + \sqrt{(2 - x)(10 - x)}[/tex]

ngoài cách ku nhân nó làm thì ) ta còn 1 pp này )

mình đã đọc bài này bên mathscope.org . (trong bài hệ kì dị và pp đặt ẩn phụ) copy luôn cho bạn )

Spoiler: =.=

nhìn mà phát ngán )

**********************
tác giả: Lê quang nẫm

thực hiện trục căn:
[tex]\ 2( \sqrt{(2-x)(5-x)}-2)=(x-1)+ \sqrt{(2-x)(10-x)}-3[/tex]
ta có:
[tex]\ 2 \frac{x^2-7x+6}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=(x-1)+ \frac{x^2-12x+11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3}[/tex]
loại đi nghiệm x=1 (hiển nhiên có) chúng ta giải phương trình thứ 2
[tex]\ 1+ \frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3}- \frac{2(x-6)}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=0[/tex](*)
đánh giá như sau:
Do x<2 nên :
[tex]\ (2-x)(10-x) \geq (2-x)(5-x) [/tex] suy ra
[tex]\frac{1}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} \leq \frac{1}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}[/tex]
nhưng do x<2 nên x-11<0 chính vì vậy dấu của bdt sẽ đổi chiều hay là:
[tex]\frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} \geq \frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}[/tex](1)
mặt khác hiển nhiên có [tex]\ 1 \geq \frac{1}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}[/tex](2)
lấy (1) cộng (2) nên ta suy ra được vt của pt luôn dương còn vp =0 nên pt(*) vô nghiệm.nên pt gốc chỉ có nghiệm x=1

lời giải này rõ ràng là hay,nhưng tại sao lại phải giải cho x<2,sau khi suy nghĩ tôi có đưa ra được 1 lời giải khác cho x thuộc r mà vẫn sử dụng trục căn ( ko cần phải bình phương quy về pt bậc 4 ).
Pt đã cho tương đương với:
[tex]\sqrt{(2-x)(10-x)}-(x+2)= 2( \sqrt{(2-x)(5-x)}-(x+1))[/tex]
thực hiện trục thẳng căn( kiểm chứng đk cho hai mẫu khác 0 )
ta có phương trình tương đương:
[tex]\frac{16(1-x)}{b+x+2}= \frac{18(1-x)}{a+x+1}[/tex]
với [tex]\sqrt{(2-x)(10-x)}=b[/tex] và [tex]\sqrt{(2-x)(5-x)}=a[/tex]
pt gốc cho ta quan hệ: [tex]\ 2a=b+x[/tex](1)
để ý loại đi nghiệm hiển nhiên thấy x=1 ta có
phương trình cần giải còn lại là:
[tex]\frac{8}{b+x+2}= \frac{9}{a+x+1}[/tex](2)
(1) và (2) lập thành 1 hệ phương trình như sau:
[tex]2a=b+x[/tex]
[tex]8(a+x+1)=9(b+x+2)[/tex] giải hệ trên ta suy ra:
[tex]5b=3x-10[/tex] hay là [tex] 5 \sqrt{(2-x)(10-x)}=3x-10[/tex] pt này quy về phương trình bậc 2,và cuối cùng tìm được thêm 1 nghiệm nữa là:
[tex] x = \frac{15+5 \sqrt{5}}{2}[/tex] và [tex] x=1[/tex]
trông đẹp nhỉ :x )
​

. :d

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Bài 5:

đk[TEX] x\geq \sqrt[3]{\frac{2}{3}}[/TEX]
xét x=1 là nghiệm,xét x khác 1
[TEX] \Leftrightarrow \frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\frac{3x^3-3}{\sqrt{3x^3-2}+1}-3(x-1)=0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x+1}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\frac{3(x^2+x+1)}{\sqrt{3x^3-2}+1}-3=0 [VN][/TEX]


Vì[TEX] \frac{x+1}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\frac{3(x^2+x+1}{\sqrt{3x^3-2}+1}>3[\forall \sqrt[3]{\frac{2}{3}}][/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Bài 5:

đk[TEX] x\geq \sqrt[3]{\frac{2}{3}}[/TEX]
xét x=1 là nghiệm,xét x khác 1
[TEX] \Leftrightarrow \frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\frac{3x^3-3}{\sqrt{3x^3-2}+1}-3(x-1)=0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x+1}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\frac{3(x^2+x+1)}{\sqrt{3x^3-2}+1}-3=0 [VN][/TEX]


Vì[TEX] \frac{x+1}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}}+\frac{3(x^2+x+1}{\sqrt{3x^3-2}+1}>3[\forall \sqrt[3]{\frac{2}{3}}][/TEX]

bài này tui đang tịt đấy! Chỗ biểu thưc VN bà làm sao chứng minh đc !??? Vấ đề là ở đó
Nếu đổi [TEX]\sqrt{3x^3 - 2}[/TEX] thành [TEX]\sqrt{3x^2 - 2}[/TEX] thì sẽ có nghiệm ! Giải hộ huynh đệ với nhé !

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

9 BÀI !
MỚI HẠ ĐC 6 BÀI CÒN 3 ! HUUUHUUUUUUU
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU
bài 1)
[TEX]x^2 + 3x + 1 = (x + 3)\sqrt{x^2 +1}[/TEX]

bài 2)
[TEX]\sqrt{4 - 3\sqrt{10 - 3x}} = x - 2[/TEX]

Bài 1:
Dùng liên hợp
[TEX](x^2-8)+3(x-\sqrt[]{8})=(x\sqrt[]{x^2+1}-6\sqrt[]{2})+3(\sqrt[]{x^2+1}-3)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x-\sqrt[]{8})[(x+\sqrt[]{8}+.............]=0[/TEX]

chứng mình cho cái [.........]>0

=>[TEX]x=\sqrt[]{8}[/TEX]


Bài 2:
đkxđ:...............


bình phương 2 vế
[TEX]3\sqrt[]{10-3x}=4x-x^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3\sqrt[]{10-3x}-x=3x-x^2[/TEX]

Nhân liên hợp cho VT

[TEX]\Rightarrow \frac{(3-x)(x+30)}{3\sqrt[]{10-3x}+x}=x(3-x)[/TEX]

=> phương trình có nghiệm duy nhất x=3


p/s: 9 bài này đều sử dụng liên hợp cả

 

[linhhuyenvuong]

Bài 1:
Dùng liên hợp
[TEX](x^2-8)+3(x-\sqrt[]{8})=(x\sqrt[]{x^2+1}-6\sqrt[]{2})+3(\sqrt[]{x^2+1}-3)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x-\sqrt[]{8})[(x+\sqrt[]{8}+.............]=0[/TEX]

chứng mình cho cái [.........]>0

=>[TEX]x=\sqrt[]{8}[/TEX]

C1:[TEX] x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}(1)[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt{x^2+1}=y ( y \geq1)[/TEX]

[TEX] (1) \Leftrightarrow y^2+3x=xy+3y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y^2-xy+3x-3y=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y(y-x)+3(x-y)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-y)(3-y)=0[/TEX]

[TEX]\left[\begin{x=y}\\{y =3} [/TEX]
Với x=y
\Rightarrow[TEX]\sqrt{x^2+1}=x [/TEX]
đk phát sinh [TEX] x\geq 0[/TEX] ma [TEX]\sqrt{x^2+1} \geq1[/TEX]
\RightarrowPT VN
với y=3
\Rightarrow[TEX]\sqrt{x^2+1}=3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+1=9[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2=8[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\left[\begin{x=\sqrt{8}(t/m)}\\{x =- \sqrt{8}(t/m)} [/TEX]

C2::[TEX] x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}(1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+1+3x-x\sqrt{x^2+1} -3\sqrt{x^2+1}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2+1-3\sqrt{x^2+1})-(x\sqrt{x^2+1}-3x)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}-3)-x(\sqrt{x^2+1}-3)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](\sqrt{x^2+1}-3)(\sqrt{x^2+}-x)=0[/TEX]
\Leftrightarrow.........................

 

[thienlong_cuong]

C1:[TEX] x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}(1)[/TEX]

đặt [TEX]\sqrt{x^2+1}=y ( y \geq1)[/TEX]

[TEX] (1) \Leftrightarrow y^2+3x=xy+3y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y^2-xy+3x-3y=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]y(y-x)+3(x-y)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x-y)(3-y)=0[/TEX]

[TEX]\left[\begin{x=y}\\{y =3} [/TEX]
Với x=y
\Rightarrow[TEX]\sqrt{x^2+1}=x [/TEX]
đk phát sinh [TEX] x\geq 0[/TEX] ma [TEX]\sqrt{x^2+1} \geq1[/TEX]
\RightarrowPT VN
với y=3
\Rightarrow[TEX]\sqrt{x^2+1}=3[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+1=9[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2=8[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\left[\begin{x=\sqrt{8}(t/m)}\\{x =- \sqrt{8}(t/m)} [/TEX]

C2::[TEX] x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^2+1}(1)[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+1+3x-x\sqrt{x^2+1} -3\sqrt{x^2+1}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x^2+1-3\sqrt{x^2+1})-(x\sqrt{x^2+1}-3x)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}-3)-x(\sqrt{x^2+1}-3)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](\sqrt{x^2+1}-3)(\sqrt{x^2+}-x)=0[/TEX]
\Leftrightarrow.........................

C1 ~ C2 !****************************************************************************************************************????????????

 

[thienlong_cuong]

Bài 1:
Dùng liên hợp
[TEX](x^2-8)+3(x-\sqrt[]{8})=(x\sqrt[]{x^2+1}-6\sqrt[]{2})+3(\sqrt[]{x^2+1}-3)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x-\sqrt[]{8})[(x+\sqrt[]{8}+.............]=0[/TEX]

chứng mình cho cái [.........]>0

=>[TEX]x=\sqrt[]{8}[/TEX]


Bài 2:
đkxđ:...............


bình phương 2 vế
[TEX]3\sqrt[]{10-3x}=4x-x^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3\sqrt[]{10-3x}-x=3x-x^2[/TEX]

Nhân liên hợp cho VT

[TEX]\Rightarrow \frac{(3-x)(x+30)}{3\sqrt[]{10-3x}+x}=x(3-x)[/TEX]

=> phương trình có nghiệm duy nhất x=3


p/s: 9 bài này đều sử dụng liên hợp cả

Nhưng nhân liên hợp xong còn phỉa chứng minh cái cục biểu thức thừa # 0 thì đôi bài ko chứng minh đc !