[toán 8] phương trình ngiệm nguyên

[minh1910]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/Tìm x,y thuộc Z thoả mãn $x^2+x-y^2=0$
2/ Tìm x,y nguyên dương thoả mãn $3^x+1=(y+1)^2$

 

[khaiproqn81]

1) Dễ thấy phương trình có nghiệm $x=0; y=0$

$x^2+x-y^2=0 \Leftrightarrow x(x+1)-y^2=0 \\ \Leftrightarrow x(x+1)=y^2 \Leftrightarrow y=\sqrt{x(x+1)}$

Một số chính phương lớn hơn $0$ không thể tạo thành bởi hai số nguyên liên tiếp nên pt chỉ có $1$ nghiệm $(0;0)$

 

[riverflowsinyou1]

$3^{x}+1=(y+1)^{2}$ \Leftrightarrow $3^{x}=y^{2}+2y$ \Leftrightarrow $3^{x}=y(y+2).$
Đặt $y=3^n,y+2=3^m$ (m>n)ta có:
$3^{m}-3^{n}=2$ \Rightarrow $3^n(3^{m-n}-1)=2$.
Vì (2,3)=1 suy ra $3^n=1$ suy ra n=0
Lại có $3^m-1=2$ hay m=1;
Từ đó thay vào ta tính được $y=1,x=1$
Vậy phương trình có một cặp nghiệm duy nhất là x=y=1