[Toán 8]phương pháp chứng minh bất đẳng thức côsi

[traitimbangtuyet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

thật ra thì lớp 8 chúng mình vẫn chưa học cao đến thế đâu ! nhưng chúng ta sắp vào lớp 9 rồi !một năm học đầy thử thách lắm ! nên tớ muốn giới thiệu với các bạn về bất đẳng thức côsi để chúng mình vận dụng nha ! Trong topic này tớ chỉ post những thứ đơn giản để các bạn tìm hiểu nha

Hai số a,b k âm thì :[TEX]\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}[/TEX] hay [TEX]a+b\geq2\sqrt{ab}[/TEX] \Rightarrow dấu bằng xảy ra khi a=b
* Phương pháp 1 : phương pháp dựa vào định nghĩa :[TEX]A\geq B \Rightarrow A-B\geq0[/TEX]
VD: Chứng minh [TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2[/TEX] với mọi x , y cùng dấu .
Ta giải như sau :
Ta có :[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy}[/TEX] mà [tex](x+y)^2\geq0[/TEX] x , y cùng dấu nên xy >0
Do đó :[TEX]\frac{(x+y)^2}{xy}\geq0[/TEX]\Rightarrow[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2[/TEX]
Một số bài tập đơn giản nha :
Cho x\geqy>0 và m>n>0 ,.Chứng minh [TEX]\frac{x}{n}>\frac{y}{m}[/TEX]

 

[becon_matech997]

sai hằng đẳng thức rồi kìa bạn
[TEX]x^2+y^2-2xy = (x-y)^2 [/TEX]chứ

 

[mrs.math96]

[tex]\frac{x}{n}[/tex] > [tex]\frac{y}{m}[/tex]
\Leftrightarrow[tex]\frac{x}{n}[/tex] - [tex]\frac{y}{m}[/tex] >0
\Leftrightarrow[tex]\frac{xm-yn}{mn}[/tex] >0
mà m>n>0 \Rightarrowmn >0
\Rightarrow xm - yn >0
Ta có x\geqy>0 và m>n>0
\Rightarrow x;y;m;n là các số dương
\Rightarrowxm>yn
Vậy xm - yn >0
:-SS

 

[hoa_giot_tuyet]

BĐT cô-si thì muôn vàn lắm

Cho thêm mấy bài nè

1. Cho x+y = 2. Chứng minh [tex]xy(x^2+y^2) \leq 2[/tex]

2. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn [TEX]\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = 2[/TEX]. Chứng munh [TEX]xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]

p/s: dạng cơ bản đấy dang vội nên ưtngf ấy thôi

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

BĐT cô-si thì muôn vàn lắm

Cho thêm mấy bài nè

1. Cho x+y = 2. Chứng minh [tex]xy(x^2+y^2) \leq 2[/tex]

2. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn [TEX]\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} = 2[/TEX]. Chứng munh [TEX]xyz \leq \frac{1}{8}[/TEX]

p/s: dạng cơ bản đấy dang vội nên ưtngf ấy thôi

1. [TEX]8VT \leq (x+y)^4 =8VP[/TEX]
2. [TEX]gt \Rightarrow \frac{1}{1+x} =1- \frac{1}{1+y} +1- \frac{1}{1+z}= \frac{y}{1+y} + \frac{z}{1+z} \geq 2\sqrt{\frac{yz}{(1+y)(1+z)} }[/TEX]
Tương tự xây dựng đc 2 bđt nữa rồi nhân các vế tương ứng của 3 bđt lại thì đc đpcm
Bài này tương tự
[TEX]a, b, c, d>0: \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1} \geq 3 \Rightarrow Min P=abcd ?[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

1. [TEX]8VT \leq (x+y)^4 =8VP[/TEX]
2. [TEX]gt \Rightarrow \frac{1}{1+x} =1- \frac{1}{1+y} +1- \frac{1}{1+z}= \frac{y}{1+y} + \frac{z}{1+z} \geq 2\sqrt{\frac{yz}{(1+y)(1+z)} }[/TEX]
Tương tự xây dựng đc 2 bđt nữa rồi nhân các vế tương ứng của 3 bđt lại thì đc đpcm
Bài này tương tự
[TEX]a, b, c, d>0: \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1} \geq 3 \Rightarrow Min P=abcd ?[/TEX]

ẹc ! Thấy mấy bài này là hoa mắt chóng mặt !
Ta có

[TEX]\frac{1}{a +1} + \frac{1}{b +1} + \frac{1}{c +1} + \frac{1}{d +1} \geq3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a}{a +1} + \frac{b}{b +1} + \frac{c}{c +1} + \frac{d}{d +1} \leq1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{a}{a +1} + \frac{b}{b +1} + \frac{c}{c +1} \leq \frac{1}{d +1}[/TEX]

Mặt khác
[TEX]\frac{a}{a +1} + \frac{b}{b +1} + \frac{c}{c +1} \geq \frac{\sqrt[3]{abc}}{(a +1)(b +1)(c +1)}[/TEX]

Tương tự

[TEX]\frac{b}{b +1} + \frac{c}{c +1} + \frac{d}{d +1} \geq \frac{\sqrt[3]{bcd}}{(b +1)(c +1)(d +1)}[/TEX]
Cứ tiếp tục
Có 4 BDT tương tự thế !
Nhân từng vế là OK!

Hình như là MIN = {1}{81} ! p/s: chứả tính ! Thấy 4 số 3 có trong nên đoán thế !

 

[thienlong_cuong]

Thêm 1 bài tương tự và có vẻ rộng hơn tý nha !
Cho các số thực duơng
[TEX]x_1 ; x_2 , ... , x_n[/TEX]
Thoả mãn

[TEX]\frac{1}{1 + x_1} + \frac{1}{1 + x_2} + .... + \frac{1}{1 + x_n} = 1[/TEX]

Chứng minh rằng : [TEX]x_1x_2...x_n \geq (n -1)^n[/TEX]

 

[phantom_lady.vs.kaito_kid]

Giả sử a, b, c là các số thực k âm t/m [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]
C/m [TEX]0 \leq ab+bc+ca-abc \leq 2[/TEX]
(USAMO 2000)

 

[cchhbibi]

Cho đa thức P(x) với các hệ số k âm [TEX]P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+1[/TEX].
Biết [TEX]P(x)[/TEX] có n nghiệm thực [TEX]x_1, x_2, ..., x_n[/TEX].
C/m [TEX]P(m) \geq (m+1)^n[/TEX]

 

[thanhson1995]

Thêm 1 bài tương tự và có vẻ rộng hơn tý nha !
Cho các số thực duơng
[TEX]x_1 ; x_2 , ... , x_n[/TEX]
Thoả mãn

[TEX]\frac{1}{1 + x_1} + \frac{1}{1 + x_2} + .... + \frac{1}{1 + x_n} = 1[/TEX]

Chứng minh rằng : [TEX]x_1x_2...x_n \geq (n -1)^n[/TEX]

Theo bđt AM-GM

Xây dựng n bất đẳng thức tương tự rồi nhân các vế với nhau ta có

-> ĐPCM

 

[dakrai247]

phải vậy mới đúng chứ

 

[khanhtoan_qb]

Một số bài tập đơn giản nha :
Cho x\geqy>0 và m>n>0 ,.Chứng minh [TEX]\frac{x}{n}>\frac{y}{m}[/TEX]

Giải:
Xét hiệu
[TEX]\frac{x}{n} - \frac{y}{m}[/TEX]
[TEX]= \frac{xm - yn}{mn}[/TEX](1)
Do [TEX]x \geq y > 0 [/TEX], và [TEX] m > n > 0 \Rightarrow xm > yn \Rightarrow xm - yn > 0[/TEX]
Tử của (1) > 0
Mẫu của (1) > 0
\Rightarrow [TEX]\frac{x}{n} - \frac{y}{m} > 0[/TEX]\Rightarrow đpcm

Nhớ thanks nghe bạn

 

[ththbode]

BĐT thì mình ko thiếu
Cho 3 số thực x.y.z. Nếu mlà giá trị nhỏ nhất trong 3 số [TEX](x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2[/TEX] thì
m \leq [TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{2}[/TEX]
Thêa thôi chứ bài này dễ quá còn gì
Sao thế này?

 

[khanhtoan_qb]

BĐT thì mình ko thiếu
Cho 3 số thực x.y.z. Nếu mlà giá trị nhỏ nhất trong 3 số [TEX](x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2[/TEX] thì
m \leq [TEX]\frac{x^2+y^2+z^2}{2}[/TEX]
Thêa thôi chứ bài này dễ quá còn gì
Sao thế này?

ta thấy m \geq 0
Giải nha:
giải sử [TEX]x \geq y \geq z \Rightarrow m \geq 0[/TEX]
ta có
[TEX]x - y \geq \sqrt{m} \geq 0 \Rightarrow (x - y)^2 \geq m[/TEX]
[TEX]y - z \geq \sqrt{m} \geq 0\Rightarrow (y - z)^2 \geq m[/TEX]
[TEX]x - z \geq 2\sqrt{m} \geq 0\Rightarrow (x - z)^2 \geq 4m[/TEX]
\Rightarrow [TEX](x - y)^2 + (y - z )^2 + (z - x )^2 \geq 6m[/TEX]
\Rightarrow[TEX]3(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)^2 \geq 6m[/TEX]
\Rightarrow[TEX]3(x^2 + y^2 + z^2) \geq 6m[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{x^2 + y^2 + z^2}{2} \geq m[/TEX]

Nhớ thanks nghe bạn

Sr đồng chí nha, mình hơi nhầm tí xíu, đọc đề nhầm x, y, z với a, b, c nhưng bạn vẫn phải thanks chứ

 

[ththbode]

ta thấy m \geq 0
Giải nha:
giải sử [TEX]a \geq b \geq c \Rightarrow m \geq 0[/TEX]
ta có
[TEX]a - b \geq \sqrt{m} \geq 0 \Rightarrow (a - b)^2 \geq m[/TEX]
[TEX]b - c \geq \sqrt{m} \geq 0\Rightarrow (b - c)^2 \geq m[/TEX]
[TEX]a - c \geq 2\sqrt{m} \geq 0\Rightarrow (a - c)^2 \geq 4m[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a - b)^2 + (b - c )^2 + (a - c )^2 \geq 6m[/TEX]
\Rightarrow[TEX]3(a^2 + b^2 + c^2) - (a + b + c)^2 \geq 6m[/TEX]
\Rightarrow[TEX]3(a^2 + b^2 + c^2) \geq 6m[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{a^2 + b^2 + c^2}{2} \geq m[/TEX]

a,b ở đâu hả bạn?????
chắc chép i trang ở đâu đó!!!!!!!!!!!

 

[emind]

bất đẳng thức côsi

giải hộ tớ bài toán này với:
cho x+y=2; x,y\geq0 cmr x²y²(x²+y²)\leq2