[Toán 8] Phân tích phân thức.

[depvazoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 phân thức:
[TEX]A=\frac{4bc-a^2}{bc+2a^2}[/TEX]; [TEX]B=\frac{4ac-b^2}{ac+2b^2}[/TEX];[TEX]C=\frac{4ab-c^2}{ab+2c^2}[/TEX]
Chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì A.B.C=1

 

[thong7enghiaha]

Từ giả thuyết $a+b+c=0$ ta dề dàng chứng minh được $a^3+b^3+c^3=3abc$

* $a^3+b^3+c^3=3abc$

$a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0$

$(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0$

$(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=0$

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$

$\dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]=0$

\Rightarrow $a=b=c$

Thay vào từng biểu thức ta được:

* $A=1$

* $B=1$

* $C=1$

\Rightarrow $A.B.C=1$

 

[noinhobinhyen]

Từ giả thuyết $a+b+c=0$ ta dề dàng chứng minh được $a^3+b^3+c^3=3abc$

* $a^3+b^3+c^3=3abc$

$a^3+b^3+c^3-3abc=0$

$(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0$

$(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0$

$(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)=0$

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0$

$\dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]=0$

\Rightarrow $a=b=c$

SAI nặng rồi em

chỉ có a+b+c = 0 thôi chứ sao a=b=c ????????

1 trong 2 trường hợp mà

--------------------------

Đề bài cũng sai nữa

a=-2 ; b=c=1 thi a+b+c = 0 đó

nhưng A = 0 nên ABC = 0 $\not= 1 $

 

[harrypham]

SAI nặng rồi em

chỉ có a+b+c = 0 thôi chứ sao a=b=c ????????

1 trong 2 trường hợp mà

--------------------------

Đề bài cũng sai nữa

a=-2 ; b=c=1 thi a+b+c = 0 đó

nhưng A = 0 nên ABC = 0 $\not= 1 $

Em nghĩ nếu ta thêm giả thiết [TEX]a \neq b \neq c[/TEX] thì chắc bài toán sẽ đúng hơn.

 

[harrypham]

Lời giải. Ta làm như sau:
Từ giả thiết [TEX]a+b+c=0 \Rightarrow a=-b-c[/TEX]. Khi đó
[TEX]A= \frac{4bc-(b+c)^2}{bc+(b+c)^2}= \frac{-(b-c)^2}{2b^2+5bc+2c^2}= \frac{-(b-c)^2}{(2b+c)(2c+b)}[/TEX]
[TEX]B= \frac{4(-b-c)c-b^2}{(-b-c)c+2b^2}= \frac{-(2c+b)^2}{(b-c)(2b+c)}[/TEX]
[TEX]C= \frac{4(-b-c)b-c^2}{(-b-c)b+2c^2}= \frac{-(2b+c)^2}{(c-b)(2c+b)}[/TEX]

Do đó [TEX]A.B.C=1[/TEX].
Tất nhiên trong trường hợp này ta phải đưa ra một số điều kiện như [TEX]a \neq b \neq c, b \neq -2c, b \neq -2a, a \neq -2b, a \neq -2c, c \neq -2a, c \neq -2b[/TEX].

 

[professional2365]

Lời giải. Ta làm như sau:
Từ giả thiết [TEX]a+b+c=0 \Rightarrow a=-b-c[/TEX]. Khi đó
[TEX]A= \frac{4bc-(b+c)^2}{bc+(b+c)^2}= \frac{-(b-c)^2}{2b^2+5bc+2c^2}= \frac{-(b-c)^2}{(2b+c)(2c+b)}[/TEX]
[TEX]B= \frac{4(-b-c)c-b^2}{(-b-c)c+2b^2}= \frac{-(2c+b)^2}{(b-c)(2b+c)}[/TEX]
[TEX]C= \frac{4(-b-c)b-c^2}{(-b-c)b+2c^2}= \frac{-(2b+c)^2}{(c-b)(2c+b)}[/TEX]

Do đó [TEX]A.B.C=1[/TEX].
Tất nhiên trong trường hợp này ta phải đưa ra một số điều kiện như [TEX]a \neq b \neq c, b \neq -2c, b \neq -2a, a \neq -2b, a \neq -2c, c \neq -2a, c \neq -2b[/TEX].

Sao mình thấy ab+2c^2=-(b+c)b+2c^2=-b^2-bc+2c^2=-b^2+bc-2bc+2c^2=-b(b-c)-2c(b-c)=(b-2c)(b-c) chứ đâu phải là(b+2c)(b-c)