[Toán 8]Phân thức

[tbsbd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Biết $\dfrac{1}{x}$ + $\dfrac{1}{y}$ + $\dfrac{1}{z}$ = $\dfrac{1}{x+y+z}$
Đẳng thức: $\dfrac{1}{x^{2009}}$ + $\dfrac{1}{y^{2009}}$ + $\dfrac{1}{z^{2009}}$
= $\dfrac{1}{x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}}$ đúng hay sai?

 

[vipboycodon]

Theo giả thiết ta có : $\dfrac{yz+xz+xy}{xyz} = \dfrac{1}{x+y+z}$
<=> $(yz+xz+xy)(x+y+z) = xyz$
<=> $xyz+x^2z+x^2y+y^2z+xyz+xy^2+yz^2+xz^2+xyz = xyz$
<=> $z(x+y)^2+xy(x+y)+z^2(x+y) = 0$
<=> $(x+y)(xz+yz+xy+z^2) = 0$
<=> $(x+y)(x+z)(y+z) = 0$
<=> $\left[\begin{matrix} x+y = 0 \\ y+z = 0 \\ x+z = 0 \end{matrix}\right.$
Nếu $x+y = 0$ => $x = -y$ <=> $x^{2009} = -y^{2009}$ ta có :
$\dfrac{1}{x^{2009}}+\dfrac{1}{y^{2009}}+\dfrac{1}{z^{2009}} = \dfrac{1}{-y^{2009}}+\dfrac{1}{y^{2009}}+\dfrac{1}{z^{2009}} = \dfrac{1}{z^{2009}}$ (1)
và $\dfrac{1}{x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}} = \dfrac{1}{-y^{2009}+y^{2009}+z^{2009}} = \dfrac{1}{z^{2009}} $ (2)
Từ (1) , (2) => đpcm
Chứng minh với 2 trường hợp còn lại.