[Toán 8] Phân thức đại số

[maloimi456]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1: Tìm a,b biết:
$\frac{5x-2}{x^2+x-20}=\frac{a}{x+5}-\frac{b}{x-4}$

2: a) CMR nếu $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=1$ và $x=y+z$
Thì $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1$

b) CMR nếu $x=by+cz, y=ax+cz, z=ax+by$ và $x+y+z$ khác 0
Thì $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$

 

[minhmai2002]

$\dfrac{5x-2}{x^2+x-20}=\dfrac{a}{x+5}-\dfrac{b}{x-4}$
\Leftrightarrow $\dfrac{5x-2}{x^2+x-20}=\dfrac{a(x-4)}{(x+5)(x-4)}-\dfrac{b(x+5)}{(x+5)(x-4)}$
\Leftrightarrow $\dfrac{5x-2}{x^2+x-20}=\dfrac{ax-4a}{x^2+x+20}-\dfrac{bx+5b}{x^2+x+20}$
\Leftrightarrow $\dfrac{5x-2}{x^2+x-20}=\dfrac{ax-4a-bx-5b}{x^2+x+20}$
\Rightarrow $5x-2=ax-4a-bx-5b$
\Leftrightarrow $5x-2=(a-b)x-4a-5b$
\Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a-b=5} \\
{-4a-5b=-2} \\
\end{array}} \right.$
\Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=3} \\
{b=-2} \\
\end{array}} \right.$
(bạn tự giải chỗ này ra nhé)

 

[iceghost]

2a) Có : $x=y+z \iff z-x+y=0$
Lại có : $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}=1$
$\iff \dfrac{yz}{xyz}-\dfrac{xz}{xyz}-\dfrac{xy}{xyz}=1 \\
\iff \dfrac{yz-xz-xy}{xyz}=1 \\
\iff yz-xz-xy=xyz \\
\iff (yz-xz-xy)^2=(xyz)^2 \\
\iff (yz)^2+(xz)^2+(xy)^2-2xyz^2+2x^2yz-2xy^2z = (xyz)^2 \\
\iff y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2-2xyz(z-x+y)=x^2y^2z^2 \\
\iff y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2=x^2y^2z^2 \\
\iff \dfrac{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}{x^2y^2z^2}=1 \\
\iff \dfrac{y^2z^2}{x^2y^2z^2}+\dfrac{x^2z^2}{x^2y^2z^2}+\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2z^2} = 1 \\
\iff \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$

b) Có : $x=by+cz$
$\implies ax+x=ax+by+cz \\
\iff x(a+1)=ax+by+cz$
Tương tự : $y(b+1)=ax+by+cz \\
z(c+1)=ax+by+cz$

Ta có : $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}$
$=\dfrac{x}{x(1+a)}+\dfrac{y}{y(1+b)}+\dfrac{z}{z(1+c)} \\
= \dfrac{x}{ax+by+cz}+\dfrac{y}{ax+by+cz}+\dfrac{z}{ax+by+cz} \\
=\dfrac{x+y+z}{ax+by+cz} \; (1)$

Mặt khác : $x+y+z =by+cz+ax+cz+ax+by= 2(ax+by+cz) \\
\implies \dfrac{x+y+z}{ax+by+cz} = 2 \; (2)$

Từ $(1),(2) \implies \dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2$