[Toán 8] Những bài toán bất phương trình của Côsi và BuNhiACopSki

[tieuhoalong_102_galucsi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

mình mong toàn thể các mem và các mod ủng hộ nhiệt tình vs pic của mình
mình cũng ko có bài của hai ông nổi tiếng đó nên mình mong rằng các bạn sẽ đặt ra bài toán để mọi người cùng giải nha ai có bài nào thì đưa bài nấy lên cho mọi người cùng giải

Chú ý: Các bài toán đưa ra phải là các bài về chứng minh bất đẳng thức Côsi hoặc BuNhiACopSki

MÌNH XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ỦNG HỘ PIC CỦA MÌNH

 

[tieuhoalong_102_galucsi]

Mở đầu là bài đầu tiên
cho a, b, x, y [TEX]\epsilon[/TEX] Z
CM: Bất đẳng thức BuNhiACopSki

[TEX]({ax + by})^{2}[/TEX] [TEX]\leq [/TEX] ([TEX]{a}^{2}[/TEX] + [TEX]{b}^{2}[/TEX])*([TEX]{x}^{2}[/TEX] + [TEX]{y}^{2}[/TEX])

 

[vansang02121998]

( Đúng với mọi a; b; x; y )

Dấu "=" xảy ra khi ay=bx

Lưu ý nè, nếu pic hoạt động tốt thì tui sẽ đưa pic thành chủ đề chú ý, các bài viết phải có latex đó nhé

 

[khaitien]

Sao chẳng thấy ai góp bài thế , để tui giúp nhá .
BĐT Cauchy
1. C/m :
[TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})[/TEX] \geq 64
với a+b+c=1
2 . Cho S=[TEX]a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd[/TEX] trong đó ad-bc=1
C/M : S\geq3
Nhân tiện các bạn làm hộ tui mấy bài tui post trên choox toans 8 nhá |-)|-)

 

[tieuhoalong_102_galucsi]

vansang02121998 a ơi a ko cần phải ghi là hoàn toàn đúng vs mọi a, b, x, y
mà mình thay vào đó có thể là mình ghi là "hoàn toàn đúng" (HTĐ)

khaitien sau ngyà mai câu hỏi của bạn sẽ có đáp án thanks bạn đã gửi bài
Cảm ơn mọi người đã ủng hộ píc của mình

 

[minhtuyb]

Sao chẳng thấy ai góp bài thế , để tui giúp nhá .
BĐT Cauchy
1. C/m :
[TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})[/TEX] \geq 64
với a+b+c=1

[tex]VT= 1+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) +(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+ \frac{1}{abc}[/tex]
*Ta c/m đc:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9[/TEX]
[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq \frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=27[/TEX]
[TEX]\frac{1}{abc}\geq \frac{1}{\frac{(a+b+c)^3}{27}}=27[/TEX]
Cộng vế với vế ta có ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]

P/s: Quên mất yêu cầu bài là Cauchy )
[TEX]1+\frac{1}{a}=1+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27a^3}}[/TEX]
[TEX]1+\frac{1}{b}=1+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27b^3}}[/TEX]
[TEX]1+\frac{1}{c}=1+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}+\frac{1}{3c}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{27c^3}}[/TEX]
Nhân vế với vế:
[TEX]VT\geq 64\sqrt[4]{\frac{1}{27^3.a^3b^3c^3}}\geq 64\sqrt[4]{\frac{1}{27^3.(\frac{(a+b+c)^3}{27})^3}}=VP<Q.E.D>[/TEX]

 

[tieuhoalong_102_galucsi]

a ơi bài của a có vẻ giải khó hiểu quá a có thể tóm lược lại được ko ạ
nếu a đã giải ra như thế thì cái căn của a quá khủng
e nhìn cũng choáng ko hiểu j hết

 

[vansang02121998]

a ơi bài của a có vẻ giải khó hiểu quá a có thể tóm lược lại được ko ạ
nếu a đã giải ra như thế thì cái căn của a quá khủng
e nhìn cũng choáng ko hiểu j hết

Bài của minhtuyb dùng 2 công thức chính sau

- Liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân ( bất đẳng thức Cauchy )

+ Tổng quát

Dấu "=" xảy ra khi

+ Áp dụng trong bài

Dấu "=" xảy ra khi

- Dấu căn

+ Tổng quát

+ Áp dụng trong bài

 

[khaitien]

Post tiếp nè .
BĐT BuNhiACopSki
1. Cho x, y, z thoả mãn
x(x-1) + y(y-1) + z(z-1 ) \leq [TEX]\frac{4}{3}[/TEX]
C/m x+y+z\leq4
2C/ m nếu phương trình [TEX]x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0[/TEX]
có nghiệm thì [TEX]a^2+(b-2)^2 > 3[/TEX]
Đính chính thêm nhá
BĐT mà vansang dùng là AM-GM ( tên gọi chuẩn quốc tế ) , còn hình như bạn dùng BĐT BuNhiACopSki va Cauchy trong sách toán NCPT phải không , nếu vậy sẽ không làm được 2 bài trên đâu. Phiền moi người post hộ bất đẳng thức Cauchy -Schwarz ( BuNhiACopSki theo cách gọi tiếng Nga )

 

[soinhocodon]

Các bạn giải giúp mình bài này với

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng :
1/ a+b-c + 1/b+c-a + 1/a+c-b lớn hơn hoặc bằng 1/a + 1/b+ 1/c

 

[vansang02121998]

Cái này hình như không áp dụng buhia hoặc cauchy thì phải

Ta có

Vì a; b; c là 3 cạnh tam giác

Áp dụng

Chứng minh tương tự

Cộng các vế lại ta được điều phải chứng minh