[Toán 8] Nghiệm nguyên

[vanmanh2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm x là số nguyên để
[TEX]x^4+x^3+x^2+x+1[/TEX] là số chính phương
Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
[TEX]x^3+x^2+x+1=y^3[/TEX]

 

[chaudoublelift]

Giải

Tìm x,y nguyên thỏa mãn:
$x^3+x^2+x+1=y^3$(*)
Giải:
Ta có:
Xét $y^3-x^3=x^3+x^2+x+1-x^3=x^2+x+1$
$=(x^2+x+\dfrac{1}{4})+\dfrac{3}{4}=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}≥\dfrac{3}{4}>0⇒y^3>x^3(1)$
Mà $(x+2)^3-y^3=x^3+6x^2+12x+8
x^3=6x^2+12x+8=6(x^2+2x+1)+2=6(x+1)^2+2≥2>0⇒(x+2)^3>y^3(2)$
Từ (1)(2)⇒$x^3<y^3<(x+2)^3⇒y^3=(x+1)^3⇔y=x+1$
$⇔x^3+x^2+x+1=x^3+3x^2+3x+1$
$⇔2x^2+2x=0⇔2x(x+1)=0$
$\left[\begin{matrix} x=0\\ x=-1\end{matrix}\right.(t/m)$
$⇒\left[\begin{matrix} y=1\\y=0\end{matrix}\right.$
Vậy $(x;y)=(0;1),(-1;0)$ thỏa mãn PT(*)