Toán 8 nâng cao

[hieu09062002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c thỏa mãn đồng thời:
($a+b$)($b+c$)($c+a$)=$abc$ và ($a^3 + b^3$)($b^3 + c^3$)($c^3 + a^3$)=$a^3b^3c^3$
Chứng minh rằng a=b=c
Thanks

 

[quynhphamdq]

Ta có : $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$
\Rightarrow $(a+b)(b+c)(c+a)(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)=a^3b^3c^3$
\Rightarrow $abc(a^2-ab+b^2)(b^2- bc+c^2)(c^2-ac+a^2)=a^3b^3c^3$
\Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{abc=0}\\{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2) = a^2b^2c^2} [/TEX]
* Nếu abc=0 thì $(a+b)(b+c)(c+a)=0 $\Rightarrow a=b=c=0(1)
* Nếu abc khác 0
\Rightarrow [TEX]\left{\begin{a^2-ab+b^2\geq|ab|}\\{b^2-bc+c^2\geq|bc|}\\{c^2-ac+a^2\geq|ac|} [/TEX]
\Rightarrow $a^2-ab+b^2)(b^2- bc+c^2)(c^2-ac+a^2)$ \geq $a^2b^2c^2$
MÀ
$(a^2-ab+b^2)(b^2- bc+c^2)(c^2-ac+a^2)=a^2b^2c^2$
\Rightarrow Dấu (=) xảy ra khi a=b=c (2)
Từ (1), (2) ta c/m đc : $a=b=c$

 

[hieu09062002]

Ta có : $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$
\Rightarrow $(a+b)(b+c)(c+a)(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2)=a^3b^3c^3$
\Rightarrow $abc(a^2-ab+b^2)(b^2- bc+c^2)(c^2-ac+a^2)=a^3b^3c^3$
\Leftrightarrow [TEX]\left[\begin{abc=0}\\{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+a^2) = a^2b^2c^2} [/TEX]
* Nếu abc=0 thì $(a+b)(b+c)(c+a)=0 $\Rightarrow a=b=c=0(1)
* Nếu abc khác 0
\Rightarrow [TEX]\left{\begin{a^2-ab+b^2\geq|ab|}\\{b^2-bc+c^2\geq|bc|}\\{c^2-ac+a^2\geq|ac|} [/TEX]
\Rightarrow $a^2-ab+b^2)(b^2- bc+c^2)(c^2-ac+a^2)$ \geq $a^2b^2c^2$
MÀ
$(a^2-ab+b^2)(b^2- bc+c^2)(c^2-ac+a^2)=a^2b^2c^2$
\Rightarrow Dấu (=) xảy ra khi a=b=c (2)
Từ (1), (2) ta c/m đc : $a=b=c$

Tại sao lại có Nếu abc=0 thì $(a+b)(b+c)(c+a)=0 $\Rightarrow a=b=c=0