Toán 8 nâng cao

[hieu09062002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho 4 số dương a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=4
Chứng minh $\dfrac{a}{1+b^2}$ + $\dfrac{b}{1+c^2}$ + $\dfrac{c}{1+d^2}$ + $\dfrac{d}{1+a^2}$ \geq 2
Bài 2;
a/ $(x - y)^5$ + $(y - z)^5$ + $(z - x)^5$
b/ $(x - y)^7$ + $(y - z)^7$ + $(z - x)^7$
Thanks!!!!>-

 

[iceghost]

Plz buông tha cho mình đi -_-

Đặt $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} = A$
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có :
$1+b^2 \ge 2b \implies \dfrac{ab^2}{1+b^2} \le \dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}2 \\
\implies a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=\dfrac{a}{1+b^2} \ge a - \dfrac{ab}2$
Tương tự :
$\dfrac{b}{1+c^2} \ge b - \dfrac{bc}2 \\
\dfrac{c}{1+d^2} \ge c - \dfrac{cd}2 \\
\dfrac{d}{1+a^2} \ge d - \dfrac{da}2 \\
\implies \dfrac{a}{1+b^2} + \dfrac{b}{1+c^2} + \dfrac{c}{1+d^2} + \dfrac{d}{1+a^2} = A \ge (a+b+c+d)-\dfrac{ab+bc+cd+da}2$

Lại có : $ab+bc+cd+da \le \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2=\dfrac14.4^2=4 \\
\implies (a+b+c+d)- \dfrac{ab+bc+cd+da}2 \ge (a+b+c+d)-\dfrac42=4-2=2 \\
\implies A \ge2$

Nguồn : Yahoo, diendantoanhoc, ...

 

[hieu09062002]

Plz buông tha cho mình đi -_-

Đặt $\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+d^2}+\dfrac{d}{1+a^2} = A$
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có :
$1+b^2 \ge 2b \implies \dfrac{ab^2}{1+b^2} \le \dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}2 \\
\implies a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=\dfrac{a}{1+b^2} \ge a - \dfrac{ab}2$
Tương tự :
$\dfrac{b}{1+c^2} \ge b - \dfrac{bc}2 \\
\dfrac{c}{1+d^2} \ge c - \dfrac{cd}2 \\
\dfrac{d}{1+a^2} \ge d - \dfrac{da}2 \\
\implies \dfrac{a}{1+b^2} + \dfrac{b}{1+c^2} + \dfrac{c}{1+d^2} + \dfrac{d}{1+a^2} = A \ge (a+b+c+d)-\dfrac{ab+bc+cd+da}2$

Lại có : $ab+bc+cd+da \ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2=\dfrac14.4^2=4 \\
\implies A \ge 4-\dfrac42=2$

Nguồn : Yahoo, diendantoanhoc, ...

Tại sao có $ab+bc+cd+da \ge $\dfrac{1}{4}$(a+b+c+d)^2= $\dfrac{1}{4}.4^2=4

 

[iceghost]

Tại sao có $ab+bc+cd+da \ge $\dfrac{1}{4}$(a+b+c+d)^2= $\dfrac{1}{4}.4^2=4

Mình ghi nhầm bạn, $ab+bc+cd+da \le \dfrac{1}{4}(a+b+c+d)^2$
Ta có : $ab+bc+cd+da=(a+c)b+(a+c)d=(a+c)(b+d)$
Lại có : $[(a+c)-(b+d)]^2 \ge 0 \\
\iff (a+c)^2-2(a+c)(b+d)+(b+d)^2 \ge 0 \\
\iff (a+c)^2+2(a+c)(b+d)+(b+d)^2-4(a+c)(b+d) \ge 0 \\
\iff [(a+c)+(b+d)]^2-4(a+c)(b+d) \ge 0 \\
\iff [(a+c)+(b+d)]^2 \ge 4(a+c)(b+d) \\
\iff (a+c)(b+d) \le \dfrac{(a+b+c+d)^2}4$
$\implies ab+bc+cd+da \le \dfrac{1}{4}(a+b+c+d)^2$