[Toán 8] Một bổ đề về diện tích khá hay

[hoa_giot_tuyet]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là một bổ đề diện tích rất hay mà mình mới học, send mọi người xem ;

Bổ đề: Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt AB,AC lần lượt tại E và F. Tính tỉ số [TEX]\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}}[/TEX]

Giải: Hạ đường cao CH và FK xuống AB. Dễ c/m \frac{KF}{CH} = \frac{AF}{AC}

Dẫn tới [TEX]\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}} = \frac{AE.KF}{AB.CH} = \frac{AE.AF}{AB.AC}[/TEX]

Đó chính là bổ đề tớ muốn giới thiệu ta có thể tính [TEX]S_{AEF}[/TEX] thông qua [TEX]S_{ABC}[/TEX]

Một số bài tập áp dụng(nếu ko áp dụng hình như sẽ rất khó)
Bài 1. Trên các cạnh AB<BC<AC của tam giác ABC cố định lấy M,N,P sao cho [TEX]\frac{AM}{MB} = \frac{BN}{NC} = \frac{CP}{PA} = k[/TEX] (k>0)
Tính [TEX]S_{MNP}[/TEX] theo [TEX] S_{ABC}[/TEX] và k. Tính k để [TEX]S_{MNP}[/TEX] đạt GTNN
Bài 2. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy M,N,P tương ứng. Đặt [TEX]S_{ANP}, S_{MPB}[/TEX] và [TEX]S_{MNC}[/TEX] là [TEX]S_1, S_2, S_3[/TEX] và [TEX]S_{ABC} = S[/TEX]. Chứng minh [TEX]S_1.S_2.S_3 \leq \frac{S^3}{64}[/TEX]
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có diện tích là 2S. M thuộc AB, N thuộc AD, P thuộc CD sao cho [TEX]\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} = \frac{CP}{PD} = k[/TEX]. Tính [TEX]S_{MNP}[/TEX] theo S và k. Xác định k để [TEX]S_{MNP}[/TEX] nhỏ nhất

p/s: Đề thi hsg tỉnh QB :x

 

[khanh_ndd]

Chém câu 1 đã [TEX]S_{MNP}=S_{ABC}-(S_{AMP}+S_{CPN}+S_{BNM})=S_{ABC}-\frac{3k}{(k+1)^2}S_{ABC}=\frac{k^2-k+1}{(k+1)^2}S_{ABC}. MinS_{MNP}=\frac{1}{4}S_{ABC}[/TEX] khi[TEX]k=1[/TEX]

Min sai kìa, lần sau làm rõ ra cho đẹp nhá )

 

[billy9797]

để tui làm bài 2 xem
áp dụng bổ đề:S1.S2.S3/S^3=AP.AN.BP.BM.NC.MC/AB^2.AC^2.BC^2=(AP.BP)(AN.NC)(BM.MC)/AB^2.AC^2.BC^2
lấy E là trung điểm AB,c/m dc AP.BP=AE^2-EP^2=1/4AB^2-EP^2
=>AP.BP/AB^2<=1/4(đẳng thức xảy ra<=>EP^2=0 tức P là trung điểm AB)
từ đó ta c/m dc đề bài
p/s:ai chỉ cách gõ mấy cái công thức với

Bạn học cách gõ công thức tại đây http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917
Nếu thấy khó học thì dùng mathtype rồi up lên cũng dc

 

[hoangtu_2011]

để tui làm bài 2 xem
áp dụng bổ đề:S1.S2.S3/S^3=AP.AN.BP.BM.NC.MC/AB^2.AC^2.BC^2=(AP.BP)(AN.NC)(BM.MC)/AB^2.AC^2.BC^2
lấy M là trung điểm AB,c/m dc AP.BP=AM^2-MP^2=1/4AB^2-MP^2
=>AP.BP/AB^2<=1/4(đẳng thức xảy ra<=>MP^2=0 tức P là trung điểm AB)
từ đó ta c/m dc đề bài
p/s:ai chỉ cách gõ mấy cái công thức với

Bài làm sai ! Đã có M rồi giờ lại lôi ra M là trung điểm AB
Chắc sửa lại thôi !

 

[hoangtu_2011]

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có diện tích là 2S. M thuộc AB, N thuộc AD, P thuộc CD sao cho

. Tính

theo S và k. Xác định k để

nhỏ nhất
_________________________________________

Đề bài có sai ko bà

M thuộc AB
P thuộc CD
Thì đúng ra N thuộc AC chứ sao lại thuộc AD ??????
Đoán vậy thôi ! Xem xem đề đúng hay sai nha

 

[billy9797]

Bài làm sai ! Đã có M rồi giờ lại lôi ra M là trung điểm AB
Chắc sửa lại thôi !

à nhầm,đã sửa tên điểm lại thành E .

 

[khanh_ndd]

[TEX]MinS_{MNP}=\frac{1}{4}S_{ABC}[/TEX] đúng mà bạn
xảy ra khi [TEX]k=1[/TEX]
bài 3 đầu bài đúng không vậy