[Toán 8] Một bài toán lớp 8

[pescious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $ \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}$ và $x^2+y^2=1$
Chứng minh $\dfrac{x^{2020}}{a^{1010}}+\dfrac{y^{2020}}{b^{1010}}=\dfrac{2}{(a+b)^{1010}}$

 

[harrypham]

Từ gt $x^2+y^2=1 \implies (x^2+y^2)^2=1 \implies x^4+y^4=1-2x^2y^2$.
$$\begin{aligned} \frac{x^4}{a}+ \frac{y^4}{b}= \frac{1}{a+b} & \iff \frac{x^4b+y^4a}{ab}= \frac{1}{a+b} \\ & \iff (x^4b+y^4a)(a+b)=ab \\ & \iff x^4ab+x^4b^2+y^4a^2+y^4ab=ab \\ & \iff ab(x^4+y^4)+x^4b^2+y^4a^2=ab \\ & \iff ab(1-2x^2y^2)+x^4b^2+y^4a^2=ab \\ & \iff ab+[x^4b^2- 2 \cdot (x^2b) \cdot (y^2a)+ y^4a^2]=ab \\ & \iff (x^2b-y^2a)^2=0 \\ & \iff x^2b=y^2a \end{aligned}$$
Lại có do $x^2+y^2=1 \implies x^2=1-y^2$ nên $x^2b=y^2a \implies (1-y^2)b=y^2a \implies b=y^2(a+b)$.
Quay lại biểu thức cần chứng minh $$\begin{aligned} \dfrac{x^{2020}}{a^{1010}}+ \frac{y^{2020}}{b^{1010}} & = \dfrac{x^{2020}b^{1010}+y^{2020}a^{1010}}{(ab)^{1010}} \\ & = \frac{2 \cdot y^{2020}a^{1010}}{a^{1010}y^{2020}(a+b)^{1010}} \\ & = \boxed{ \dfrac{2}{(a+b)^{1010}}} \end{aligned}$$