Toán 8! kt học kỳ 2--khó

[hoaelly_99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC có a,b,c lần lượt là các cạnh của tam giác đó. x,y,z là các đường phân giác của tam giác. chứng minh: 1/x+1/y+1/z>1/a+1/b+1/c

 

[eye_smile]

Xét tam giác ABC có: $AB = a;BC = b;AC = c;AD = x;BE = y;CF = z$
Qua C kẻ đường thẳng // với AD, cắt AB tại H
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
\widehat{BAD} = \widehat{AHC} \\
\widehat{CAD} = \widehat{ACH} \\
\end{array} \right. \to \widehat{AHC} = \widehat{ACH}$
$ \to $ tam giác AHC cân tại A
$ \to $ AH=AC
Xét tam giác AHC có:$HC < AH + AC = 2AC$
Xét tam giác BHC có: AD//HC
$ \to ABD \sim HBC$
$ \to \dfrac{{AD}}{{HC}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AB}}{{AH + AB}}$
$ \to AD = \dfrac{{AB.HC}}{{AH + AB}} < \dfrac{{AB.2AC}}{{AC + AB}}$
$ \to \dfrac{1}{{AD}} > \dfrac{{AC + AB}}{{2AB.AC}} = \dfrac{1}{{2AB}} + \dfrac{1}{{2AC}}$
$ \to \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{{2a}} + \dfrac{1}{{2c}}$
CMTT,ta cũng có:
$\dfrac{1}{y} > \dfrac{1}{{2a}} + \dfrac{1}{{2b}}$
$\dfrac{1}{z} > \dfrac{1}{{2b}} + \dfrac{1}{{2c}}$
Cộng các vếta có đpcm