Toán 8 khó

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
Chứng minh trong 3 số a, b, c phải có 1 số âm, 1 số dương.
2, Cho $a+b+c=1$, $a^2+b^2+c^2=1, a^3+b^3+c^3=1$.
Tính P = a^2014 + b^2014 + c^2014

 

[xuanquynh97]

Bài 1: Ta có $\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}$

\Leftrightarrow $\frac{a}{b-c}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{(a-c)(b-a)}$

\Leftrightarrow $\frac{a}{(b-c)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

Tương tự ta có $\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2-bc+ab-a^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

$\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

\Rightarrow $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2+c^2-bc+ab-a^2+a^2-ac+bc-b^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

\Leftrightarrow $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$
Chứng tỏ rằng 1 trong 3 số a,b,c không thể cùng âm hoặc cùng dương

 

[xuanquynh97]

Bài 2: Ta có $a+b+c=1$ \Leftrightarrow $(a+b)=1-c$
$a^3+b^3+c^3=1$ \Leftrightarrow $a^3+c^3=1-c^3$
\Leftrightarrow $(a+b)(a^2-ab+b^2)=(1-c)(1+c+c^2)$
TH1. $1-c=0$
\Leftrightarrow $c=1$
\Rightarrow $a+b=0$
\Leftrightarrow $a=-b$
\Rightarrow $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=c^{2014}=1$
TH2. $1-c\not=0$
\Rightarrow $a^2 -ab +b^2 = 1+c+c^2$
\Leftrightarrow $(a+b)^2 - 3ab = (1+c)^2 +3c $
\Leftrightarrow $c = -ab$
Thay $c= -ab$ vào phương trình $a+b+c =1$ ta có:
$a+b -ab =1$ (*)
\Leftrightarrow $a - ab +b -1 =0$
\Leftrightarrow $a(1-b) - (1-b) =0$
\Leftrightarrow $(1-b)(a-1) =0$
a=1 hoặc b=1
Lại có $a^2+b^2+c^2=0$ (*)(*)
Từ (*) và (*)(*) ta có
$a+b=1$
+) Nếu a=1 \Rightarrow b=0 ; c=0
\Rightarrow $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1$
+) b=1 \Rightarrow a=0 ; c=0
\Rightarrow $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1$

 

[chonhoi110]

Bài 1: Ta có $\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}$

\Leftrightarrow $\frac{a}{b-c}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{(a-c)(b-a)}$

\Leftrightarrow $\frac{a}{(b-c)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

Tương tự ta có $\frac{b}{(c-a)^2}=\frac{c^2-bc+ab-a^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

$\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

\Rightarrow $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2+c^2-bc+ab-a^2+a^2-ac+bc-b^2}{(a-c)(b-a)(b-c)}$

\Leftrightarrow $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$
Chứng tỏ rằng 1 trong 3 số a,b,c không thể cùng âm hoặc cùng dương

Cách khác:
Ta có: $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b} \rightarrow a \neq b \neq c$

Có $\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}=0$

$\leftrightarrow a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0$

$\leftrightarrow a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0$ (1)

Ta thấy a, b, c đối xứng nên không giảm tính tổng quát giả sử: $a > b > c$

* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành $a > b > c \ge 0$

(1) $\leftrightarrow (a-b)(a^2 - ac - b^2 + bc) + c(c-a)(c-b) = 0$

$\leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0$

$\leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0$ (2)

Ta thấy $b - c > 0$ (do $b > c$) và $a > 0 \rightarrow a+b-c > 0 \rightarrow (a-b)^2(a+b-c) > 0$ và $c(a-c)(b-c) ≥ 0$

$\rightarrow (a-b)^2.(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0$ mâu thuẫn với (2)

Vậy $c < 0$ (nói chung trong a, b, c phải có số âm)

. Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: $0 ≥ a > b > c$

(1) $\leftrightarrow a(a-b)(a-c) + (b-c)(b^2 - ab - c^2 + ca) = 0$

$\leftrightarrow a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0$

$\leftrightarrow a(a-b)(a-c) + (b-c)^2(b+c-a) = 0$ (3)

Ta lại thấy: $a - b > 0; a - c > 0 \rightarrow a(a-b)(a-c) ≤ 0$ (vì $a ≤ 0$)

và $b < 0; c - a < 0 \rightarrow b + c -a < 0 \rightarrow (b-c)^2(b+c-a) < 0$

$\rightarrow a(a-b)(a-c) + (b-c)^2(b+c-a) < 0$ mẫu thuẫn với (3)

Đến đây thì dễ rùi kết luận giống cái trên rùi suy ra đpcm