Bài này mình nghĩ đề phải là diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi chân
3 đường phân giác chứ. Tam giác đó chỉ tìm được diện tích lớn nhất thôi
Đặt $BC=a \\ AC=b \\ AB=c$
Ta có: $\dfrac{S_{ABE}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{c}
{a+c}$( 2 tam giác có chung chiều cao và tính chất tia phân giác trong
tam giác
Tương tự :$\dfrac{S_{AEF}}{S_{AEB}}=\dfrac{b}{b+a}$
$\rightarrow \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABE}}
{S_{ABC}}.\dfrac{S_{AEF}}{S_{AEB}}=\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}$
Tương tự $\dfrac{S_{BFD}}{S_{ABC}}=\dfrac{ac}{(a+b)(b+c)} \\
\dfrac{S_{CED}}{S_{ABC}}=\dfrac{ab}{(a+b)(b+c)}$
$\rightarrow \dfrac{S_{AEF}+S_{BDF}+S_{CED}}{S_{ABC}}=
\dfrac{bc}{(b+a)(c+a)}+\dfrac{ab}{(a+c)(b+c)}+ \dfrac { ac } { ( a + b )
( c + b ) }$
$ =\dfrac{bc^2+b^2c+a^2b+ab^2+ac^2+a^2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}=
\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1-\dfrac{2abc}{(a+b)
(b+c)(c+a)}$
$\dfrac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-
\dfrac{S_{AEF}+S_{BDF}+S_{CED}}{S_{ABC}}=1-1+\dfrac{2abc}
{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \dfrac{2abc}{8abc}=\dfrac{1}{4}$
Vậy diện tích tam giác tạo bởi chân 3 đường cao lớn nhất là bằng
$\dfrac{1}{4}$ tam giác đó khi tam giác đó đều
Last edited by a moderator:
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn