Nếu điểm M không nằm ngoài (M nằm trong tam giác ABC hoặc trên cạnh của tam giác ABC) thì
MB+MC \leq AB+AC.
trường hợp M nằm trong tam giác ABC, các trường hợp còn lại là M trên cạnh AB, AC, BC thì de rồi
Gọi E là giao của MB với cạnh AC. Ta có
BM+ME =BE < BA+AD, CM < CE+EM.
Cộng hai vế BĐT này đc ngay BM+CM<BA+CA tương tự ta có
tương tự ta có: MA+MB \leq CA+CB
MB+MC \leq AB+AC
MC+MA \leq BC+BA
rồi cộng các vế lại ta thu được kquả là với mọi điểm M không nằm ngoài tam giác ABC thì MA+MB+MC \leq AB+AC+BC.
tiếp theo
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác, không mất tổng quát ta coi M nằm ở trong $\Delta $ OAB hoặc trên OA hoặc OB.
M không nằm ngoài tam giác ABD nên MA+MB+MD \leq AB+AD+DB < AB+AD+DC+CB (1)
M không nằm ngoài tam giác ABC nên MA+MB+MC \leq AB+BC+AC < AB+BC+AD+DC (2)
Giờ ta c/m MC+MD < AB+BC+CD+DA (3).
Thật vậy:
M mà thuộc đoạn OB thì DM+MB=DB<DA+AB và MC<MB+BC rồi công hai BĐT này đc
DM+CM<DA+AB+BC nên suy đc (3).
M mà thuộc đoạn OA thì cũng ttự như trên.
M nằm trong tam giác OAB: gọi T là giao điểm của DM với AB, ta có DM+MT=DT<DA+AT, CM<MT+TB+BC rồi lại công vế thì được DM+MC<DA+AB+BC và do đó cũng có (3)
Từ(1), (2), (3) thì ta cộng ba BĐT này là có (MA+MB+MC+MD )<3p
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn