[Toán 8] Hình học nâng cao

[hanh7a2002123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Lấy điểm $M$ nằm trên đoạn $HB$, điểm $N$ nằm trên đoạn HC sao cho $\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^0$. Chứng minh:
a, Tam giác AMN cân.
b, $\frac{BC.BD}{BF}=\frac{AC.AE}{AF}$

 

[iceghost]

a) CM $\triangle{AFN} \sim \triangle{ANB}$ (g.g)
$\implies \dfrac{AN}{AF} = \dfrac{AB}{AN} \\
\iff AN^2 = AF.AB \; (1)$
Tương tự : $\triangle{AEM} \sim \triangle{AMC}$ (g.g)
$\implies AM^2 = AC.AE \; (2)$
CM : $\triangle{AFC} \sim \triangle{AEB}$ (g.g)
$\implies \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AE}{AB} \\
\iff AF.AB = AC.AE$
Kết hợp $(1),(2) \implies AM = AN$
$\implies \triangle{AMN}$ cân tại $A$

b) CM : $\triangle{ABD} \sim \triangle{CBF}$ (g.g)
$\implies \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{BF} \\
\iff AB = \dfrac{BC.BD}{BF} \; (3)$
Tương tự : $\triangle{ABE} \sim \triangle{ACF}$
$\implies AB = \dfrac{AC.AE}{AF} \; (4)$
Từ $(3),(4) \implies đpcm$