[Toán 8] Hằng đẳng thức

[nhung20020929]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Rút gọn biểu thức :
a)[TEX](a+b+c)^3 - (b+c-a)^3 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3[/TEX]
b)[TEX](a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
2)C/m các hằng đẳng thức:
a)[TEX](a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3= 3(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
b)[TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[/TEX]
3)Cho a+b+c=0. CMR [TEX]a^3+b^3+c^3=3abc[/TEX]
4)a)Cho x+y=1. Tính giá trị của biểu thức [TEX]x^3+y^3+3xy[/TEX]
b)Cho x-y+1. Tính giá trị của biểu thức [TEX] x^3-y^3-3xy[/TEX]
5)CMR
a)Nếu số n là tổng của hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương
b) Nếu số 2n là tổng của hai số chính phuơng thì n cũng là tổng của hai số chính phuơng
c) Nếu số n là tổng của hai số chính phuơng thì [TEX]n^2[/TEX] cũng là tổng của 2 số chính phuơng
d) Nếu mỗi số m và n đều là tổng của hai số chính phuơng thì tích mn cũng là tổng của 2 số chính phuơng

 

[phamhuy20011801]

$3, a+b+c=0 \leftrightarrow a+b=-c \leftrightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab(-c)=3abc$
$4,a, (x+y)^3=1^3 \leftrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)=1 \leftrightarrow x^3+y^3+3xy=1$
$b,$ tương tự...
$5b, 2n=x^2+y^2 \rightarrow n= \dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}= \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{xy}{2}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{xy}{2}+\dfrac{y^2}{4}=(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2})^2+(\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2})^2$
$c, n=x^2+y^2 \rightarrow n^2=(x^2+y^2)^2=x^4+2x^2y^2+y^4=x^4-2x^2y^2+y^4+4x^2y^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2$
$2b, a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+3ab(a+b)+b^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=(a^3+b^3)^3+c^3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-c(a+b)+c^2-3ab)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

 

[toanhoc20]

Bài 5:
a)$n= x^2+y^2$
\Rightarrow $2n=x^2+x^2+y^2+y^2=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+2xy+y^2)$
$=(x-y)^2+(x+y)^2$
d)$m=a^2+b^2$; $n=c^2+d^2$
\Rightarrow $mn=a^2b^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2$
$=[(ac)^2+2abcd+(bd)^2]+[(bc)^2-2abcd+(ad)^2]$
$=(ac+bd)^2+(bc-ad)^2$

 

[transformers123]

a/ Ta có hằng đẳng thức: $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$

Đặt $\begin{cases}x=b+c-a\\y=a+c-b\\z=a+b-c\end{cases}$, ta có: $x+y+z=a+b+c$

$\Longrightarrow (a+b+c)^3 - (b+c-a)^3 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$

$\iff (a+b+c)^3 - (b+c-a)^3 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3=3(x+y)(y+z)(z+x)$

$\iff (a+b+c)^3 - (b+c-a)^3 - (a+c-b)^3 - (a+b-c)^3=24abc$ (thế $x=...,\ y=...,\ z=...$
vào lại)

b/ Ta có hằng đẳng thức: $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)$

$=(a+b+b+c+c+a)[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2-(a+b)(b+c)-(b+c)(c+a)-(c+a)(a+b)]$

$=2(a+b+c)(a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2+c^2+2ac+a^2-ab-ac-b^2-bc-c^2-ab-bc-ca-
a^2-ab-bc-ca)$

$=2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

 

[pinkylun]

2)a)

$=(a+b)^3+3c(a+b)(a+b+c)+c^3-a^3-b^3-c^3$

$=a^3+3ab(a+b)+b^3+3c(a+b)(a+b+c)+c^3-a^3-b^3-c^3$

$=3(a+b)(ab+ca+cb+c^2)$

$=3(a+b)(b+c)(a+c)$