[Toán 8] Hai bài toán hay và khó

[longvtpro123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Tìm giá trị của [TEX]f(x) = ax^2 + bx + c[/TEX] biết [TEX]f(x+y) = f(x) + f(y) + xy[/TEX] (tìm a, b, c nhé)
Bài 2:
Cho 1 đa thức bậc 6 P(x)
Biết P(1) = P(-1), P(2) = P(-2), P(3) = P(-3)
Chứng minh P(x) = P(-x) với mọi số thực x

 

[hiensau99]

Bài 2: P(x) có dạng $P(x)= ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g$

+ $P(1)= a.1^6+b.1^5+c.1^4+d.1^3+e.1^2+f.1+g= a+b+c+d+e+f+g$

+ $P(-1)= a-b+c-d+e-f+g$

Mà $P(1)=P(-1)$ Nên: $a+b+c+d+e+f+g=a-b+c-d+e-f+g \Longrightarrow 2b+2d+2f=0 \Longrightarrow b+d+f=0$ (1)

+ Làm tương tự với P(2) và P(-2) ta có

$ a.2^6+b.2^5+c.2^4+d.2^3+e.2^2+f.2+g= a.(-2)^6+b.(-2)^5+c.(-2)^4+d.(-2)^3+e.(-2)^2+f.(-2)+g$

$\Longrightarrow 2^4b+2^2d+f=0 \Longrightarrow 16b+4d+f=0 $ (2)

+ Làm tương tự với P(3) và P(-3)

$ a.3^6+b.3^5+c.3^4+d.3^3+e.3^2+f.3+g= a.(-3)^6+b.(-3)^5+c.(-3)^4+d.(-3)^3+e.(-3)^2+f.(-3)+g$

$\Longrightarrow 3^4b+3^2d+f=0 \Longrightarrow 81b+9d+f=0 $ (3)

+ Trừ vế cho vế của (2) và (1) ta có $15b+3d=0 \Longrightarrow 5b+d=0$ (4)

+ Trừ vế cho vế của (3) và (2) ta có $65b+5d=0 \Longrightarrow 13b+d=0$ (5)

+ Trừ vế cho vế của (5) và (4) ta có $7b=0 \Longrightarrow b=0$

+ Thay vào (4) ta có d=0

+ Thay b=d=0 vào (1) ta có f=0 nên

$P(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g = ax^6+0+cx^4+0+ex^2+0+g=ax^6+cx^4+ex^2+g= a(-x)^6+c(-x)^4+e(-x)^2+g= P(-x)$

Vậy $P(x)=P(-x)$ với mọi x

 

[darknigh93]

Bài 1 tìm giá trị là tìm cái gì?có phải là tìm a,b,c?................................................................

 

[luffy_1998]

1. Tìm f(x) = ax^2 + bx + c biết f(x+y) = f(x) + f(y) + xy

Với $y = 0 \rightarrow f(x) = f(x) + f(0) \rightarrow f(0) = 0 \rightarrow c = 0$
Với $y = x \rightarrow f(2x) = 2f(x) + x^2 \rightarrow 4ax^2 + 2bx = 2ax^2 + 2bx + x^2 \rightarrow (2a - 1)x^2 = 0 \rightarrow 2a = 1 \rightarrow a = \dfrac{1}{2}$
Với $y = k \rightarrow f(x + k) = f(x) + f(k) + xk \rightarrow \dfrac{1}{2}(x^2 + 2xk + k^2) + b(x+k) = \dfrac{1}{2}x^2 + bx + \dfrac{1}{2}k^2 + bk + xk \rightarrow xk = xk$
Mệnh đề trên đúng với mọi x $\rightarrow$ b tuỳ ý