[Toán 8] Giúp tui nha

[satthubongtoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Tìm các số nguyên dương a,b sao cho 2a+1 chia hết cho b; 2b+1 chia hết cho a
2)Tìm số tự nhiên n sao cho :

là số nguyên tố.

3)Tìm số tự nhiên n sao cho :

và

là hai số nguyên tố cũng nhau.

4)Tìm số tự nhiên n có 16 ước, biết

và

5)Cho

Chứng minh rằng

có 31 chữ số.
_______________________________________________________________

 

[braga]

2)
+ Với [TEX]n=0[/TEX] thì [TEX]P=5[/TEX] nguyên tố, thỏa mãn.

+ Với [TEX]n>0[/TEX] thì [TEX]P>5[/TEX].

Khi đó [TEX]P=2.2^{4n+1}+1=2^{4n+2}+1=4^{2n+1}+1[/TEX].

Nhận thấy[TEX]4^{2n+1} \equiv -1 \pmod{5} \rightarrow 4^{2n+1}+1 \equiv 0 \pmod{5}[/TEX].

Vậy [TEX]P \vdots 5[/TEX] mà [TEX]P>5[/TEX] nên [TEX]P[/TEX] là hợp số, mâu thuẫn.

Do đó [TEX]\fbox{n=0}[/TEX] là đáp án bài toán.

3)Tìm số tự nhiên n sao cho : [tex]24n+7[/tex] và [tex]18n+5[/tex] là hai số nguyên tố cũng nhau.

Bài toán này có lẽ đúng với mọi n tự nhiên, hay nói cách khác thì [TEX]UCLN(24n+7,18n+5)=1[/TEX].

Thật vậy, giả sử [TEX]UCLN(24n+7,18n+5)=d[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3(24n+7) \vdots d, \ \ \ 4(18n+5) \vdots d[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3(24n+7)-4(18n+5) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d[/TEX].

Vậy [TEX]\fbox{d=1}.[/TEX]


4) [tex]M=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}[/tex]

[TEX]\Rightarrow 2M=2+2^2+...+2^{100}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow M=2^{100}-1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow M+1=2^{100}[/TEX]

[TEX]2^{100}=(2^{10})^{10}=1024^{10}>1000^{10}=10^{30}[/TEX]

[TEX]2^{100}=2^{31}.2^{69}=2^{31}.2^6.2^{63}=2^{31}.64.512^7<2^{31}.125.625^7=2^{31}.5^3.(5^4)^7=2^{31}.5^{31}=10^{31}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 10^{30}<2^{100}<10^{31}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2^{100}[/TEX] có 31 chữ số hay M+1 có 31 chữ số(đpcm)

Mấy bài này đã được giải ở đây

 

[harrypham]

1) Rõ ràng nếu [TEX]a \ne b[/TEX] thì [TEX](a,b) = 1[/TEX] và [TEX]a,b[/TEX] đều là số lẻ. Ta có: [TEX]2a+1=kb[/TEX], với [TEX]k[/TEX] là số nguyên dương [TEX] \Rightarrow 2(2a+1)+k = k(2b+1) = 4a+k+2 [/TEX].
[TEX] \Rightarrow k+2 \, \vdots \, a[/TEX].
Suy ra: [TEX]a \le k+2[/TEX]
Suy ra: [TEX]kb=2a+1 \le 2k+5[/TEX] hay [TEX]b \le 2+5/k[/TEX].
Nếu 5 không chia hết cho [TEX]k[/TEX] thì [TEX]b=1 \Rightarrow a=0[/TEX] (vô lí)
Suy ra [TEX]k \in \{-5,1,5\}[/TEX].
Với [TEX]k=1[/TEX] thì [TEX]b \le 7[/TEX] suy ra [TEX]a \le 3[/TEX] suy ra[TEX] a=1[/TEX] và [TEX]a=3[/TEX] suy ra [TEX]b=3[/TEX] và [TEX]b=7[/TEX].
Với [TEX]k=-5[/TEX] thì [TEX]b \le 1[/TEX] suy ra [TEX]b=1[/TEX] ( loại do trên).
Với [TEX]k=5[/TEX] thì [TEX]b \le 3[/TEX] suy ra [TEX]b=3[/TEX] suy ra [TEX]a=1[/TEX].
Do đó [TEX](a,b) \in \{(1,3);(3,7)\}[/TEX].
Nếu [TEX]a=b[/TEX] thì rõ ràng chỉ có [TEX]a=b=[/TEX]1 là thỏa bài toán.