[ Toán 8] Đố mọi người chút nè !!!

[hoangvanhieu263]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b+c=0. CMR:
[TEX]{({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}^{2} = 2({a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4})[/TEX]

 

[soicon_boy_9x]

$a+b+c=0 \rightarrow a+b=-c$

$\rightarrow (a+b)^2=c^2$

$\rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab$

$\rightarrow (a^2+b^2-c^2)^2=4a^2b^2$

$\rightarrow a^4+b^4+c^3+2a^2b^2-2a^2c^2-2c^2b^2=4a^2b^2$

$\rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2$

$\rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2(dpcm)$

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này


Ta có:
a+b+c=0
\Leftrightarrow$(a+b+c)^2=0$
\Leftrightarrow$a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)$
\Leftrightarrow$(a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ca)^2$ (1)
\Leftrightarrow$a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$=$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c))$
\Leftrightarrow$a^4+b^4+c^4$=$2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
\Leftrightarrow$2(a^4+b^4+c^4)$=$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (2)
Từ (1) ta có:
$(a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ca)^2$
\Leftrightarrow$(a^2+b^2+c^2)^2$=$4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c))=4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra đpcm
(*)(*)(*)(*)(*)

 

[sieumau88]

mình góp thêm 1 cách giải khác, c/m .... đi từ VT dẫn đến VP . Hi`

--> dùng $(x+y+z)^2 = z^2+y^2+z^2 +2xy+2yz+2zx$

_________________________

 

[sieumau88]

Cho a+b+c=0. CMR:
[TEX]{({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}^{2} = 2({a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4})[/TEX]

Ta có: $\boxed{a+b+c=0}$ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
a+b = -c\\
b+c = -a\\
c+a = -b
\end{matrix}\right.$

$VT = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2a^2b^2+ 2b^2c^2 + 2a^2c^2$

$= a^4+b^4+c^4 + a^2 . (b^2+c^2) + b^2 . (a^2 + c^2) + c^2 . (a^2 + b^2)$

$= a^4+b^4+c^4 + a^2 . [(b+c)^2) -2bc] + b^2 . [(a+c)^2) -2ac] + c^2 . [(a+b)^2) -2ab]$

$= a^4+b^4+c^4 + a^2 . [(-a)^2) -2bc] + b^2 . [(-b)^2) -2ac] + c^2 . [(-c)^2) -2ab]$

$= a^4+b^4+c^4 + a^4 - 2a^2bc + b^4 - 2ab^2c + c^4 - 2abc^2$

$= 2a^4+2b^4+2c^4 - 2abc . (a+b+c) = 2a^4+2b^4+2c^4 - 2abc . 0$

$= 2a^4+2b^4+2c^4 = VP$


Kết luận ...................