[Toán 8] Định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

[depvazoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HD[TEX]\perp \[/TEX]AB, HE[TEX]\perp \[/TEX]AC. Chứng minh:
a) AH=DE.
b) Gọi I là trung điểm HB, K là trung điểm HC. Chứng minh: DI//EK.
2. Cho [TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn, đường cao BD,CE. Vẽ BH và CK vuông góc DE. Chứng minh: EH=DK.

 

[alexandertuan]

a) xét tứ giác ADHE có:
[tex] \widehat{A}[/tex]= 90 độ
[tex] \widehat{ADH}[/tex]=90 độ ( do HD [tex]\perp[/tex] AB)
[tex] \widehat{AEH}[/tex]=90 độ ( do HE [tex]\perp[/tex] AC)
\Rightarrow tứ giác ADHE là hình chữ nhật \Rightarrow AH=DE
b)
Ta có DI là đường trung tuyến ứng cạnh huyền trong [tex]\Delta[/tex] DBH
\Rightarrow DI=HI \Rightarrow [tex]\Delta[/tex] DIH cân tại I
\Rightarrow [tex] \widehat{IDH}[/tex]=[tex] \widehat{IHD}[/tex]
\Rightarrow [tex] \widehat{DIH}[/tex]=180 độ - 2[tex] \widehat{DHI}[/tex]
chứng minh tương tự [tex]\Delta[/tex] EHK
\Rightarrow [tex] \widehat{EKH}[/tex]= 180 độ - 2 [tex] \widehat{EHK}[/tex]
Cộng 2 vế
[tex] \widehat{DIH}[/tex]+[tex] \widehat{EKH}[/tex]=360-2[tex] \widehat{DHI}[/tex]-2[tex] \widehat{EHK}[/tex]=360-(360-2[tex] \widehat{DHE}[/tex])
=360-(360-180)=180
\Rightarrow DI//EK ( 2 góc trong cùng phía bù nhau)
c) suy nghĩ tiếp

 

[shunkyuzo]

a) xét tứ giác ADHE có:
[tex] \widehat{A}[/tex]= 90 độ
[tex] \widehat{ADH}[/tex]=90 độ ( do HD [tex]\perp[/tex] AB)
[tex] \widehat{AEH}[/tex]=90 độ ( do HE [tex]\perp[/tex] AC)
\Rightarrow tứ giác ADHE là hình chữ nhật \Rightarrow AH=DE
b)
Ta có DI là đường trung tuyến ứng cạnh huyền trong [tex]\Delta[/tex] DBH
\Rightarrow DI=HI \Rightarrow [tex]\Delta[/tex] DIH cân tại I
\Rightarrow [tex] \widehat{IDH}[/tex]=[tex] \widehat{IHD}[/tex]
\Rightarrow [tex] \widehat{DIH}[/tex]=180 độ - 2[tex] \widehat{DHI}[/tex]
chứng minh tương tự [tex]\Delta[/tex] EHK
\Rightarrow [tex] \widehat{EKH}[/tex]= 180 độ - 2 [tex] \widehat{EHK}[/tex]
Cộng 2 vế
[tex] \widehat{DIH}[/tex]+[tex] \widehat{EKH}[/tex]=360-2[tex] \widehat{DHI}[/tex]-2[tex] \widehat{EHK}[/tex]=360-(360-2[tex] \widehat{DHE}[/tex])
=360-(360-180)=180
\Rightarrow DI//EK ( 2 góc trong cùng phía bù nhau)
c) suy nghĩ tiếp

bạn ơi, câu a là đúng rồi, mình không nói gì về câu a nữa
còn câu b thì mình có cánh hay hơn, ngắn hơn
xem thử giùm mình nak

b)
Gọi giao điểm AH và DE là K
Ta có ADHE là hcn
\Rightarrow [tex]\widehat{KDH}[/tex] = [tex\widehat{KHD}[/tex] (1)
Xét TG BDH có
[tex]\widehat{BDH}[/tex] = 90
I là trung điểm BH
\Rightarrow BI = IH = DI \Rightarrow TG DIH là Tg cân
\Rightarrow [tex]\widehat{IDH}[/tex] = [tex]\widehat{IHD}[/tex] (2)
Lấy (1) + (2) suy ra
[tex]\widehat{KDH}[/tex] + [tex]\widehat{IDH}[/tex] = [tex]\widehat{KHD}[/tex] + [tex]\widehat{IHD}[/tex]
\Rightarrow [tex]\widehat{KDH}[/tex] + [tex]\widehat{IDH}[/tex] = [tex]\widehat{IHK}[/tex] = 90
\Rightarrow [tex]\widehat{IDK}[/tex] = 90
\Rightarrow ID [tex]\perp[/tex] DE
CM TƯƠNG TỰ \Rightarrow KE [tex]\perp[/tex] DE
\Rightarrow ID // KE (cùng [tex]\perp[/tex] DE) (DPCM)

 

[depvazoi]

Còn câu 2 thì sao mấy bạn, có ai giải được không???

 

[kieutrang97]

bài 2: ta cm được tứ giác BEDC nội tiếp theo quĩ tích cung chứa góc
suy ra góc EBC= góc CDK
suy ra 2 tam giác vuông DKC và BEC đồng dạng
suy ra tỉ số[TEX]\frac{DK}{BE} = \frac{DC}{BC}[/TEX]
hay [TEX]\frac{DK}{DC} =\frac{BE}{BC}[/TEX]
chứng minh tương tự ta được tam giác BHE và BDC đồng dạng
suy ra [TEX]\frac{HE}{DC} =\frac{BE}{BC}[/TEX]
kết hợp ta được đpcm
hjhj

 

[thinhso01]

a

bài 2: ta cm được tứ giác BEDC nội tiếp theo quĩ tích cung chứa góc
suy ra góc EBC= góc CDK
suy ra 2 tam giác vuông DKC và BEC đồng dạng
suy ra tỉ số[TEX]\frac{DK}{BE} = \frac{DC}{BC}[/TEX]
hay [TEX]\frac{DK}{DC} =\frac{BE}{BC}[/TEX]
chứng minh tương tự ta được tam giác BHE và BDC đồng dạng
suy ra [TEX]\frac{HE}{DC} =\frac{BE}{BC}[/TEX]
kết hợp ta được đpcm
hjhj

Mình sợ bạn ấy không hỉu mình làm cách 2 nhá

Gọi M là trung điểm của BC.Vẽ MI vuông góc với HK tại I
Ta lại có HB$\bot$ HK và CK$\bot$ HK
\Rightarrow BH//CK.Nên HBCK là hình thang
Xét hình thang HBCK có M là trung điểm BC,MI//HB
\Rightarrow MI là đường trung bình nên I là trung điểm của HK (IH=IK (*) )
Tiếp tục nhìn vào hai tam giác vuông BEC và tam giác vuông BDC đề có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (EM;DM đều ứng với BC)
\RightarrowEM=DM Nên tam giác EMD cân tại M
Mà MI là đường cao nên MI cũng là trung tuyến
\RightarrowIE=ID (*) (*)
Lấy (*) - (*) (*) thì HE=DK(đpcm)

 

[kiev]

Gọi M là trung điểm của BC.Vẽ MI vuông góc với HK tại I
Ta lại có HB⊥ HK và CK⊥ HK
BH//CK.Nên HBCK là hình thang
Xét hình thang HBCK có M là trung điểm BC,MI//HB
MI là đường trung bình nên I là trung điểm của HK (IH=IK )
Tiếp tục nhìn vào hai tam giác vuông BEC và tam giác vuông BDC đề có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (EM;DM đều ứng với BC)
EM=DM Nên tam giác EMD cân tại M
Mà MI là đường cao nên MI cũng là trung tuyến
IE=ID
Lấy - thì HE=DK(đpcm)