[Toán 8]đề toán lam sơn khó

[dungngocngaminh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.tìm ba số nguyên dương đôi một khác nhau a,b,c thỏa mãn:
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^2
2.tìm các số nguyên dương a và b sao cho a^3+a^2+a+1=b^3
3

Chú ý Tiêu đề, không sử dụng tiêu đề phản ánh không đúng nội dung bài viết.

 

[phamhuy20011801]

$2,$
Với $a=0$ thì $b=1$
Với $a=-1$ thì $b=0$
Với $a>0$ thì $a^3<b^3<(a+1)^3$ (vô lí)
Với $a<-1$ thì $(a+1)^3<b^3<a^3$ (kì cục)
Vậy $(a;b)$ là $(0;-1);(-1;0)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Với $x,y,z>0$ thì $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\ge 0$
Áp dụng vào bài toán:
$a^3+\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3+\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3\ge \dfrac{a(a+b+c)^2}{3}$
Tương tự rồi cộng lại ta được: $a^3+b^3+c^3+6\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3\ge 9\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3$ nên $a^3+b^3+c^3\ge 3\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3$
Do đó $(a+b+c)^2\ge 3\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3 $ hay $a+b+c\le 9$
Do $a,b,c$ đôi một phân biệt nên $a+b+c\le 8$
Nếu $a\ge 4$ thì $a^3+b^3+c^3>64$ còn $(a+b+c)^2\le 64$ vô lý, do đó $a,b,c\le 3$
Do $a,b,c\ge 1$ nên chỉ có thể là $a=1, b=2, c=3$ và các hoán vị. Thử lại thỏa mãn.