[toán 8] đề thi hsg

[leduc22122001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là các số dương, chứng minh:
$\frac{2x}{x^6 + y^4}$ + $\frac{2y}{y^6 + z^4}$ + $\frac{2z}{z^6 + x^4}$ \leq $\frac{1}{x^4}$ + $\frac{1}{y^4}$ + $\frac{1}{z^4}$

 

[transformers123]

Áp dụng bđt Cauchy, ta có:

$\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \le \dfrac{2x}{2x^3y^2}+\dfrac{2y}{2y^3z^2}+\dfrac{2z}{2z^3x^2}$

$\iff \dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{y^2z^2}+ \dfrac{2}{z^2x^2})$

$\iff \dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \le \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}+\dfrac{1}{z^4}+\dfrac{1}{x^4})$

$\iff \dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \le \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$