[Toán 8]Đề thi HSG trường mình

[thaopro1230]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b+c=2011 và[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2011}[/tex]
CMR trong 3 số a, b, c có 1 số=2011.

 

[khanhtoan_qb]

Nhân cả hai vế với 2011abc được
2011bc + 2011ac + 2011ab - abc =0
-2011bc - 2011ac -2011ab + abc = 0
-2011bc - 2011ac - 2011ab + abc + 2011^2(a + b + c) - 2011^3 =0
abc - 2011ab - 2011ac + 2011^2 a - 2011bc + 2011^2 b + 2011^2 c - 2011^3 =0
(c - 2011)(ab - 2011a - 2011b + 2011^2) =0
(c - 2011)(b - 2011)(a - 2011) = 0
=> đpcm
............nhớ cảm ơn cho tui nghe bạn......................

 

[tk1]

ta có a+b+c=2011->1/2011=1/(a+c+b)
Quy đồng 2 vế ta được
(bc+ab+ac)(a+b+c)=abc
<->3abc+(ba^2+ca^2)+(bc^2+cb^2)+(ab^2+ac^2)=abc
<->2abc+a^2(b+c)+bc(b+c)+a(b^2+c^2)=0
<->2abc+(b+c)(a^2+bc)+a[(b+c)^2-2bc]=0
<->2abc+(b+c)(a^2+bc)+a(b+c)^2-2abc=0
<->(b+c)(a^2+bc+ab+ac)=0
<->(b+c)(a+b)(a+c)=0
*)Nếu b+c=0->a=2011
*)Nếu a+b=0->c=0
*)Nếu c+a=0->b=0
Vậy trong 3 số a,b,c có tổng là 2011 thì có 1 số bằng 1.

 

[tryfighting]

Cho a+b+c=2011 và[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2011}[/tex]
CMR trong 3 số a, b, c có 1 số=2011.

Giả sử trong 3 số a,b,c có 1 số =2011
TH1 ) a=2011 => a+b+c=2011 <=> 2011+b+c=2011
<=> b+c= 0 <=> b=-c
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2011}[/tex]
\Leftrightarrow [tex]\frac{1}{2011}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2011}[/tex]
\Leftrightarrow [tex]\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0[/tex] (1)
Vì b=-c
(1)\Leftrightarrow[tex]\frac{1}{-c}+\frac{1}{c}=0[/tex] ( luôn đúng)
cả 2 trg hợp con lại CM tg tự như a
KL: VẬy trong 3 số a,b,c có 1 số = 2011 (ĐPCM)


p/s:ơ
Nếu làm như 2 bạn kia thì phải có đk của a, b, c là hằng số chứ
nếu là ẩn thì sao mà khử mẫu đc???