[Toán 8]Đề thi HSG toán 8

[shockboy9x99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Tìm số tự nhiên n để (21-n)(n-1) là một số chính phương?
2, Cho x+2y=5 ; Chứng minh x²-9y² ≤ 45
3, Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của DC, trên cạnh BC lấy 2 điểm H và K sao cho BH=HK=KC, Am căt BD tại N. Chứng minh:
a, Tam giác ANH vuông cân
b,AC đi qua trung điểm NK

 

[nkoxsjeuway]

2. Ta có x+2y=5 \Rightarrow x+3y=5+y
lại có x+2y=5 \Rightarrow x-3y=5-5y
nên (x+3y)(x-3y)= (5+y)(5-5y)
do đó x^2-9y^2=25-20y-5y^2
Xét hiệu x^2-9y^2-45
=25-20y-5y^2-45
=-5y^2-20y-20
=-5(y^2+4y+4)
=-5(y+2)^2
mà -5(y+2)^2\leq 0 với mọi y
\Rightarrow x^2-9y^2-45\leq 0
Vậy x^2-9y^2\leq 45

 

[nkoxsjeuway]

3. a) Ta có AB//CD, cát tuyến BD
\Rightarrow [TEX]\widehat{ABN}=\widehat{NDM}[/TEX] (2 góc so le trong)
nên tam giác ANB đồng dạng với tam giác MND (g.g)
\Rightarrow [TEX]\frac{AB}{MD}=\frac{NB}{ND}[/TEX]
mà [TEX]\frac{AB}{MD}={CD}{MD}=2[/TEX] ( vì AB=CD, M là trung điểm của CD)
nên [TEX]\frac{NB}{ND}=2[/TEX]\Rightarrow [TEX]ND=\frac{1}{2}[/TEX]ND
\Rightarrow [TEX]ND=\frac{1}{3}[/TEX]BD\Leftrightarrow [TEX]\frac{ND}{BD}=\frac{1}{3}[/TEX]
lại có BH=HK=KC=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]BC
\Rightarrow [TEX]{KC}{BC}=\frac{1}{3}[/TEX]
Trong tam giác BDC có ND/BD=KC/BC=1/3
\Rightarrow KN//CD (đlí Ta lét đảo)
Tam giác HNC có KN vuông góc HC; HK=KC=HC/2
\Rightarrow tam giác HNC cân tại N (có đg cao đồng thời là trung tuyến)
nên HN=CN
Tam giác CDN= tam giác ADN (c.g.c)
\Rightarrow CN=AN \Rightarrow HN=AN (cùng bằng CN)
nên tam giác AHN cân tại N
vì KN//CD, cát tuyến BD
\Rightarrow [TEX]\widehat{BNK}=\widehat{BDC}=45^o[/TEX] (so le trong)
tam giác HNC cân tại N \Rightarrow NK đồng thời là phân giác
\Rightarrow [TEX]\widehat{HNC}=2\widehat{HNK}[/TEX]
C/m đc [TEX]\trangle BNA=\triangle BNC[/TEX] (c.g.c)
\Rightarrow [TEX]\widehat{BNA}=\widehat{BNC}[/TEX]
[TEX]\widehat{BNA}=\widehat{HNA}-\widehat{BNH}[/TEX]
[TEX]\widehat{BNC}=\widehat{BNH}+\widehat{HNC}[/TEX]
nên [TEX]\widehat{HNA}-\widehat{BNH}=\widehat{BNH}+\widehat{HNC}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\widehat{HNA}=2\widehat{BNH}+2\widehat{HNK}[/TEX] (theo )
\Leftrightarrow [TEX]\widehat{HNA}=2(\widehat{BNH}+\widehat{HNK}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\widehat{HNA}=2\widehat{BNK}=2.45=90^o[/TEX] (theo )
Vậy tam giác AHN vuông cân tại N

 

[nkoxsjeuway]

3. b) Gọi AC cắt NK tại I
\Rightarrow tam giác HIC cân tại I
tam giác ICK vuông tại K, góc ICK=45^o
\Rightarrow góc KIC=45^o
nhưng IK là phân giác góc HIC (vì tam giác HIC cân tại I)
\Rightarrow góc KIH=45^o
mà góc BNK = 45^o
\Rightarrow góc KIC=góc BNK= 45^o
nên IH//BN
Trong tam giác BKN có IH// BN
do đó HK/BH=IK/IN (đlí Ta lét trong tam giác)
HK=BH \Rightarrow HK/HB=IK/IN=1
\Rightarrow IK=IN=1/2KN
\Rightarrow đpcm