[Toán 8] Đề thi học sinh giỏi huyện Thủy Nguyên - Hải Phòng ( Vòng 2 )

[tanngoclai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Thời gian : 120 phút

Bài 1 : (2 điểm )

1.Phân tích đa thức thành nhân tử :
$ \ \ \ \ \ \ P = x^4 + 1996x^2 + 1995x + 1996 $

2.Cho a,b,c thỏa mãn :
$ \ \ \ \ \ \ a^{2010} + b^{2010} + c^{2010} = a^{1005}b^{1005} + b^{1005}c^{1005} + c^{1005}a^{1005}$

Tính giá trị biểu thức : $ P = (a-b)^{20} + (b-c)^{11} + (c-a)^{2010}$

Bài 2 : ( 2 điểm )

1.Cho đa thức bậc 4 P(x) có hệ số cao nhất là 1 thỏa mãn P(1)=3, P(3)=11, P(5)=27. Tính giả trị của : P(-2) + 7P(6).

2. Cho a và b là 2 số tự nhiên khác 0 và có tổng là 1 số nguyên tố. Chứng minh rằng: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 3 : ( 1 điểm ) Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình :

$ \ \ \ \ \ \ \ x^2 + y^3 - 3y^2 + 3y = 6 $

Bài 4 : ( 2 điểm )
Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC, I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh rằng tam giác AID là tam giác cân.

Bài 5 : ( 2 điểm )
Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D là giao điểm của AM và BC; E là giao điểm của BM và AC; F là giao điểm của CM và AB. Đường thẳng qua M và song song với DE cắt DF và BC lần lượt tại N và K. Chứng minh N là trung điểm của MK.

Bài 6 : ( 1 điểm )
Cho x,y,z thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$\ \ \ \ \ \ \ \ P = xy + yz + xz + \dfrac{1}{2}[x^2(y-z)^2 + y^2(z-x)^2 + z^2(x-y)^2] $

Nếu làm trọn vẹn đề trong 2 tiếng thì đúng là bạn giỏi đấy =))

 

[vipboycodon]

1. $x^4+1996x^2+1995x+1996$
= $x^4-x+1996x^2+1996x+1996$
= $x(x-1)(x^2+x+1)+1996(x^2+x+1)$
= $(x^2+x+1)(x^2-x+1996)$

 

[ronaldover7]

2.Cho a,b,c thỏa mãn :
$a^{2010}$+$b^{2010}$+$c^{2010}$=$a^{1005}b^{1005}$+$b^{1005}c^{1005}$+$c^{1005}a^{1005}$

\Rightarrow 2$a^{2010}$+2$b^{2010}$+2$c^{2010}$=2$a^{1005}b^{1005}$+2$b^{1005}c^{1005}$+2$c^{1005}a^{1005}$
\Rightarrow$( a^{2010}+b^{2010} - 2a^{1005}b^{1005})^2$ + $( b^{2010}+c^{2010} - 2c^{1005}b^{1005})^2$+$( a^{2010}+c^{2010} - 2a^{1005}c^{1005})^2$ = 0
\Rightarrow $( a^{1005}-b^{1005})^2$ +$( b^{1005}-c^{1005})^2$
+$( c^{1005}-a^{1005})^2$ = 0
\Rightarrow a=b=c \Rightarrow P=0​

 

[ronaldover7]

Bài 3 : ( 1 điểm ) Tìm các nghiệm tự nhiên của phương trình :

$x^2$+$y^3$−3$y^2$+3y=6
\Rightarrow $x^2$+($y^3$−3$y^2$+3y-1)=5
\Rightarrow $x^2$+$(y-1)^3$=5
\Rightarrow $(y-1)^3$ \leq 5 mà y tự nhiên nên y \geq 0
.Nếu y= 0\Rightarrow $x^2$+$(y-1)^3$= $x^2$+3=5 \Rightarrow $x^2$=2 (vô lý do x tự nhiên)
.Nếu y =1 \Rightarrow $x^2$+$(y-1)^3$= $x^2$+0=5 \Rightarrow $x^2$=0 (vô lý do x tự nhiên)
.Nếu y \geq 3 \Rightarrow $(y-1)^3$ \geq 8 (vô lý do $(y-1)^3$ \leq 5 )
.Nếu y=2 \Rightarrow x=2 (nhận)​

 

[ronaldover7]

2. Cho a và b là 2 số tự nhiên khác 0 và có tổng là 1 số nguyên tố. Chứng minh rằng: a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Đặt d là UCLN của a,b
\Rightarrow a+b chia hết cho d
mà tổng là 1 số nguyên tố \Rightarrow d=1 hoặc d= tổng mà d là UCLN của a,b\Rightarrow d < a,b < tổng (do a,b, khác 0)
\Rightarrow d=1 \Rightarrow 1 là UCLN của a,b \Rightarrow a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.​

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:
1. $P(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x- \alpha )+x^2+2$ với $\alpha$ tùy ý
$P(-2)+7P(6)=1112$

 

[forum_]

6/

Từ $x^2+y^2+z^2=1$ => 0 \leq x,y,z \leq 1

Suy ra ta có:

$x^2(y-z)^2$ \leq $(y-z)^2$

Tương tự rồi cộng cả lũ lại ta đc:

P \leq $xy+yz+zx+ \dfrac{1}{2}.[ (y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2]$

= $x^2+y^2+z^2 = 1$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z = \dfrac{1}{\sqrt[]{3}}$

P.s: Đề thi chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm mấy mấy đó có bài này

 

[0973573959thuy]

Bài 4 :

Từ A hạ đường cao AH của tam giác ADI (H thuộc DN) cắt CD ở K.

$\Delta{MBC} = \Delta{NCD} (c.g.c) \rightarrow \widehat{MCB} = \widehat{NDC}$

Có $\widehat{NDC} + \widehat{DNC} = 90^0 \rightarrow \widehat{MCB} + \widehat{DNC} = 90^0 \rightarrow CM \perp DN$

$\rightarrow AK // CM$ (cùng vuông góc DN) $\rightarrow AMCK$ là HBH $\rightarrow AM = CK \rightarrow K$ là trung điểm CD.

Trong tam giác ADI có AK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến suy ra dpcm