[Toán 8] Đề ôn hsg khó, cần nhiều người giải (phần 2)

[langcam.vip]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. CMR: Với $n \epsilon N$ thì $n^4 + 4$ là hợp số
2. Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p + 1$ là lập phương của 1 số tự nhiên
3.
a) Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p + 2$, $p + 10$ cũng là số nguyên tố
b) Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p + 1$, $4p + 1$ là số nguyên tố
c) CM: $p + 2$, $p + 6$, $p + 8$, $p + 14$ là số nguyên tố
4. CMR:
a) Nếu $p$ và $p + 10$ là số nguyên tố thì $p + 32$ là hợp số
b) Nếu $p$ và $8p - 1$ là số nguyên tố thì $8p + 1$ là hợp số
5. CMR: Với mọi số nguyên dương $n > 2$ thì: $2^n - 1$ và $2^n + 1$ không đồng thời là số nguyên tố

 

[dien0709]

[TEX]n\in N,n\neq 1 \Rightarrow n^4+4=(n^2+2)^2-4n^2=(n^2+2-2n)(n^2+2+2n) [/TEX]là hợp số với mọi n >1

 

[dien0709]

2) ycbt[TEX]\Rightarrow 2p+1=n^3\Rightarrow[/TEX]n là số lẻ;n=2k+1
[TEX]\Rightarrow 2p=n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\Leftrightarrow p=k(2q+1)[/TEX]
p chỉ nguyên tố khi và chỉ khi k=1[TEX]\Leftrightarrow n=3;p=13[/TEX]

 

[dien0709]

3)a) *Nếu p=3=>p+2=5;p+10=13 thỏa ycbt
*Nếu P>3 thì có dạng p=3k+1 hoặc p=3k-1
- nếu p=3k+1 thì p+2=3k+3 chia hết cho 3 không nguyên tố
- nếu p=3k-1 thì p+10 =3k+9 cũng không nguyên tố
Vậy chỉ có bộ 3 số (3;5;13) thỏa ycbt
b) Lý luận tương tự cho bài b) với n>3
*nếu p=3k+1 thì 2p+1 =6k+3 không nguyên tố
*nếu p=3k-1 thì 4p+1=12k-3 không nguyên tố
Vậy chỉ có bộ 3 số(3;7;13)thỏa ycbt

 

[dien0709]

4)Lý luận tương tự
a) 3;5;35 thỏa ycbt
-Vì p+10 nguyên tố => p=3k+1=>p+32=3k+33 là hợp số
b) -3;23;25 thỏa ycbt
vì 8p-1 nguyên tố => p=3k+1,khi đó 8p+1=24k+9 không nguyên tố

 

[dien0709]

5)Ta nhận thấy:
-[TEX]2^n-1=3k [/TEX] không nguyên tố
-Nếu [TEX]2^n-1=3k-1\Rightarrow 2^n=3k[/TEX] vô lý vì [TEX]2^n[/TEX] không chia hết cho 3
-Vậy [TEX]2^n-1=3k+1[/TEX]khi đó[TEX]2^n+1=2^n-1+2=3k+3[/TEX]không nguyên tố