[Toán 8] Đề KT 1 tiết

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh bất đẳng thức (1) và áp dụng để chứng minh bất đẳng thức (2)
1. BĐT(1): [TEX]a^4 + b^4 \ge 2a^2b^2[/TEX]
BĐT(2): [TEX]a^4 + b^4 + c^4 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2[/TEX]
2. BĐT(1):[TEX] a^2b^2 + b^2c^2 \ge 2ab^2c[/TEX]
BĐT(2):[TEX] a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \ge abc(a+b+c)[/TEX]
3. BĐT(1): [TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \ge 2b \ \ \ \ [/TEX]Với a, b, c > 0
BĐT(2):[TEX] \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \ge a+b+c[/TEX]
4. BĐT(1): [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y} \ \ \ \[/TEX] Với x,y > 0
BĐT(2): [TEX]\frac{1}{p-a} + \frac{1}{p-b} + \frac{1}{p-c} \ge 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ \ \ \ [/TEX](Với a,b,c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác)
5. BĐT(1):[TEX] x^2 + y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]
BĐT(2):[TEX] x^4 + y^4 \ge \frac{(x+y)^4}{8}[/TEX]

 

[cry_with_me]

1/

$a^4 + b^4 ≥ 2a^2b^2$

$\leftrightarrow (a^2 - b^2)^2 ≥ 0$ (đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi..

$a^4 + b^4 + c^4 ≥ a^2c^2 + a^2b^2 + b^2c^2$

$\leftrightarrow 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 -2a^2c^2 -2 a^2b^2 -2 b^2c^2 ≥0 $

$\leftrightarrow (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 ≥ 0$ (đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi..

 

[hoang_duythanh]

Chứng minh bất đẳng thức (1) và áp dụng để chứng minh bất đẳng thức (2)
1. BĐT(1): [TEX]a^4 + b^4 \ge 2a^2b^2[/TEX]
BĐT(2): [TEX]a^4 + b^4 + c^4 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2[/TEX]
2. BĐT(1):[TEX] a^2b^2 + b^2c^2 \ge 2ab^2c[/TEX]
BĐT(2):[TEX] a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 \ge abc(a+b+c)[/TEX]
3. BĐT(1): [TEX]\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} \ge 2b \ \ \ \ [/TEX]Với a, b, c > 0
BĐT(2):[TEX] \frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \ge a+b+c[/TEX]
4. BĐT(1): [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y} \ \ \ \[/TEX] Với x,y > 0
BĐT(2): [TEX]\frac{1}{p-a} + \frac{1}{p-b} + \frac{1}{p-c} \ge 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ \ \ \ [/TEX](Với a,b,c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác)
5. BĐT(1):[TEX] x^2 + y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]
BĐT(2):[TEX] x^4 + y^4 \ge \frac{(x+y)^4}{8}[/TEX]

Mấy bài này phương pháp làm như nhau,hết chủ yếu dùng cô-si là ra
Câu 1:
1)áp dụng cô -si cho 2 số $a^2 ,b^2$ không âm là ra
2) nhấn 2 với 2 vế rồi ghép lại dc tổng 3 bình phương luôn \geq0 nên bđt đúng
Câu 2:
1)cô- si cho 2 số $a^2b^2,b^2c^2$ là ra
2)nhân 2 như câu 1 rồi cô-si cho từng cặp 1,cộng vào là ra kết quả
Câu 3:
quy đồng nhân lên dc $a^2b+b^2c$\geqabc.cô-si là ra ngay
Tương tự câu 2)nhân 2 với 2 vế rồi cô-si 3 cặp là dc
Câu 4:
1)quy đồng biến đổi thành 1 $(x-y)^2$\geq0 luôn đúng
2)nhân 2 cả 2 vế rồi ghép lại vận dụng bđt (1) là ra ngay,chú ý 2p=a+b+c thay vào là được
Câu 5:tạm thời chưa nghĩ ra
Thông cảm vì đề dài nên mình ngại viết chỉ hướng dẫn cách làm thôi,mong bạn tự hiểu
Mà đề 1 tiết gì mà dài thế ai làm được!!!!!!

 

[pe_chau_hocgioi]

Có ai có thể giải chi tiết thành 1 bài cho minh bài 4 hoặc 5 được không? Mình làm hoài không đươc

 

[hoang_duythanh]

Có ai có thể giải chi tiết thành 1 bài cho minh bài 4 hoặc 5 được không? Mình làm hoài không đươc

Như mình hướng dẫn ở trên rồi mà
Làm chi tiết như thế này
\Leftrightarrow$\frac{x+y}{xy}$\geq$\frac{4}{x+y}$
\Leftrightarrow$(x+y)^2$\geq4xy
\Leftrightarrow$x^2+y^2+2xy$\geq4xy
\Leftrightarrow$(x-y)^2$\geq0(luôn đúng )=> đpcm
Áp dụng $\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}$\geq$\frac{4}{2p-a-b}$
do p là nửa chu vi,=> 2p là chu vi =>2p-a-b=c
=>$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}$\geq$\frac{4}{c}$
tương tự$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}$\geq$\frac{4}{b}$
$\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-b}$\geq$\frac{4}{a}$
Cộng vế theo vế chúng lại rồi chia cho 2 được đpcm

 

[thinhso01]

Bài 5:
Ở câu a) Thì đây chính là bất đẳng thức $\text{Cauchy-Schwarz}$ đấy.(Hay còn gọi là Bunhia)
Ta có $BDT \Longleftrightarrow (x+y)(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}) \ge (x+y)^2$ (Bunhia)
b) Thì ta có dạng tổng quát sau: $\dfrac{a^n+b^n}{2} \ge (\dfrac{a+b}{2})^n$
Bạn tham khảo tại đây