Giải như sau:
Nếu [TEX]x=0[/TEX] thì loại vì [TEX]VT=2=y^2[/TEX] vô lý
Do đó [TEX]x\geq 1.[/TEX]
Nhận xét [TEX]24^x \equiv 0 \pmod{4}[/TEX] mà [TEX]y^2 \equiv 0,1 \pmod{4}[/TEX] kết hợp với [TEX]7^x \equiv 1,3 \pmod{4}[/TEX]
Từ các nhận xét trên suy ra trực tiếp [TEX]x=2k[/TEX] (chẵn)
Viết lại đề: [TEX]7^x+24^x=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}+24^{2k}=y^2 \leftrightarrow 7^{2k}=(y-24^k)(y+24^k)[/TEX]
Do [TEX]7[/TEX] nguyên tố nên [TEX]\left\{\begin{array}{1}y-24^k=7^a \\y+24^k=7^b \\a+b=2k \end{array}\right.[/TEX]
Khi vậy lấy [TEX]y+24^k-(y-24^k)=7^b-7^a \rightarrow 2.24^k=7^a(7^{b-a}-1)[/TEX]
Nhận xét [TEX]2.24^k[/TEX] không chia hểt cho [TEX]7[/TEX] nên [TEX]7^a=1 \leftrightarrow a=0[/TEX] khi đó [TEX]2.24^k=7^{b-1}-1=7^{2k-2}-1[/TEX] (do [TEX]a+b=1+b=2k[/TEX])
Suy ra [TEX]2.(2^3)^k.3^k=(7^{k-1}-1)(7^{k-1}+1)[/TEX]
Lại có tiếp [TEX](7^{k-1}+1)-(7^{k-1}-1)=2[/TEX] đồng thời tích hai số trên là số chẵn nên cả hai số đều chẵn mà hiệu là [TEX]2[/TEX] nên một số chỉ chia hết cho 2 (tức là chỉ chia hết cho 2 mà không phải 4)
TH1: [TEX]7^{k-1}-1=2.p[/TEX] (p lẻ ) khi vậy [TEX]7^{k-1}+1=(2^3)^k.q[/TEX] (q lẻ) như thế [TEX]2^{3k-1}q-p=1[/TEX] như vậy [TEX]gcd(p,q)=1[/TEX] do đó có một số bằng luôn [TEX]3^k[/TEX] còn số còn lại là [TEX]1[/TEX]
Nhưng để đảm bảo [TEX]2^{3k-1}q-p=1 \rightarrow q=1,p=3^k \rightarrow 2^{3k-1}-3^k=1[/TEX]
Thử một vài trường hợp có [TEX]k=1[/TEX] thỏa đề còn nếu [TEX]k>1[/TEX] thì [TEX]2^{3k-1}[/TEX] lớn hơn [TEX]3^k[/TEX] rất nhiều lần (chứng minh dễ bằng quy nạp)
TH2: [TEX]7^{k-1}-1=(2^3)^k.m[/TEX] (m lẻ) và [TEX]7^{k-1}+1=2.n[/TEX] (n lẻ) tương tự như trên có được [TEX]n-2^{3k-1}m=1 [/TEX] [TEX]\rightarrow n=3^k,m=1 \rightarrow 3^k-2^{3k-1}=1[/TEX]
Đến đây ta có thể chứng minh quy nạp rằng [TEX]2^{3k-1}>3^k[/TEX] khi đó [TEX]3^k-2^{3k-1}[/TEX] âm do đó mâu thuẫn vì nó bằng 1
Tóm lại ta chỉ có [TEX]k=1[/TEX] thỏa đề hay [TEX]x=2k=2[/TEX]
Vậy [TEX](x,y)=(2,25)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
