[Toán 8]Đề HSG khó đây...

[totobytote]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho [TEX]x,y,z\geq0[/TEX] và [TEX]x+5y=1999[/TEX];[TEX]2x+3z=9998[/TEX]. Tìm [TEX]GTLN[/TEX] của [TEX]M=x+y+z[/TEX]
[Câu 2: Cho [TEX]a,b,c\geq0[/TEX] và [TEX]a+b+c=2[/TEX]. CMR [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\ge 1[/TEX]
Câu 3:
a, Tìm các số nguyên [TEX]x[/TEX] để [TEX]x^2-2x-14[/TEX] là số chính phương.
b, Tìm các số [TEX]\overline{ab}[/TEX] sao cho [TEX]\frac{\overline{ab}}{|a-b|}[/TEX] là số nguyên tố.
Câu 4: Cho [TEX]x,y[/TEX] thỏa mãn:[TEX] 2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4(x\neq 0)[/TEX] . Tìm x,y để xy đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5: Cho [TEX]M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/TEX]; [TEX]N=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX].
a, CMR Nếu M=1 thì N=0
b, Nếu N=0 thì có nhất thiết M=1 không?
Câu 6: Cho [TEX]\bigtriangleup ABC[/TEX] cân[TEX](AB=AC)[/TEX] trên AB lấy M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho [TEX]BM=CN[/TEX], vẽ hình bình hành BMNP. CMR [TEX]BC\perp PC[/TEX]
Ai làm đc bài nào p0st lên dùm mình với nha thanks nhìu nhìu.

 

[coganghoctapthatgioi]

1, Ta có: cộng hai biểu thức lại:
[tex]3x+3z+5y=11997[/tex]
[tex]\Rightarrow3(x+y+z)+2y=11997[/tex]
Để m lớn nhất [tex]\Leftrightarrow y [/tex] nhỏ nhất [tex]\Leftrightarrow y=0 [/tex]
[tex]\Rightarrow3(x+y+z)=11997\Rightarrow x+y+z=3999 [/tex]
Dấu = xảy ra [tex] \Leftrightarrow x=1999,y=0,z=2000[/tex]
2, ta có: [tex]\frac{4a^2}{b+c}+\frac{4b^2}{a+c}+\frac{4c^2}{a+b}-2a-2b-2c =\frac{4a^2+(b+c)^2}{b+c}+\frac{4b^2+(c+a)^2}{c+a}+\frac{4c^2+(a+b)^2}{a+b}-4a-4b-4c[/tex]
[tex]=\frac{(2a-b-c)^2}{b+c}+\frac{(2b-c-a)^2}{c+a}+\frac{(2c-a-b)^2}{a+b}\geq0[/tex]
nên [tex]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}=1[/tex]
3,

4, Ta có: [tex]2x^2+1/x^2+y^2/4=4 [/tex]
[tex]\Rightarrow (x-1/x)^2+x^2+y^2/4+xy=xy+2 [/tex]
[tex]\Rightarrow (x-1/x)^2+(x-y/2)^2=xy+2 [/tex]
do [tex](x-1/x)^2+(x-y/2)^2\geq nên xy +2\geq 0 [/tex]
[tex]\Rightarrow xy\geq-2 [/tex]
dấu = xảy ra [tex]\Leftrightarrow x=1,y=2 [/tex]

@minhtuyb: Bạn học cách gõ latex rồi sửa lại bài 4 nhé, không hiểu tử mẫu đâu

 

[keep_going123]

bài 6: Vẽ phân giác BAC cắt NP tại D. có NP//AB => ADN=BAD mà BAD=DAC => ADN=DAC => tam giác ADN cân => NAD=(180-AND)/2 (1)
có BM=CN mà BM=NP => NC=NP => tam giác NCP cân => NCP=(180-AND)/2 (2)
(1)(2) => NCP=NAD => CP//AD mà AD vuông góc với BC => CP vuông góc BC

 

[longvtpro123]

Bài 3:
Đặt [TEX]x^2[/TEX] - 2x -14 = [TEX]a^2[/TEX]
Ta có:
[TEX]x^2[/TEX] - 2x -14 = [TEX]a^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]x^2[/TEX] + 2x + 1 - 15 - [TEX]a^2[/TEX] = 0
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](x-1)^2[/TEX] - [TEX]a^2[/TEX] = 15
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] (x+a-1)(x-a-1) = 15
Xét với a < 0 [TEX]\Rightarrow[/TEX] x+a-1 < x-a-1
Vậy ta tách 15 thành 1.15;-15.-1; 3.5; -5.-3
Giải hệ phương trình ta được [TEX]S_x[/TEX] = {5;9}.
Với a > 0 thì ta tách 15 thành 15.1; -1.-15; 5.3; -3.-5 Nhưng kết quả tương đương
Với a = 0 thì [TEX]x^2[/TEX] - 2x - 14 = 0
Ra 2 nghiệm không nguyên là [TEX]\sqrt{15}[/TEX] +1 và [TEX]\sqrt{15} -1 [/TEX]
Vậy các giá trị nguyên của x thoả mãn [TEX]x^2[/TEX] - 2x - 14 là 1 số chính phương là {5;9).

 

[minhtuyb]

Câu 2 theo cách dùng Cauchy

Câu 2: Cho [TEX]a,b,c\geq 0[/TEX] và [TEX]a+b+c=2[/TEX]. CMR [TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\ge 1[/TEX]

-Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm [tex]\frac{a^2}{b+c};\frac{b+c}{4}[/tex], có:
[tex]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq ...=a\Rightarrow \frac{a^2}{b+c}\geq a-\frac{b+c}{4}[/tex]
Xây dưng các BĐT tương tự rồi cộng lại có ĐPCM
Bài 4: [tex]4=x^2+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}\geq^{Cauchy} 4\sqrt[4]{x^2.x^2.\frac{1}{x^2}.\frac{y^2}{4}}=\sqrt[4]{128x^2y^2}[/tex]
Được chưa nhỉ

 

[longvtpro123]

Bài 4:
Ta có: [TEX]2x^2[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x^2}[/TEX] + [TEX]\frac{y^2}{4}[/TEX] = 4
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]x^2[/TEX] - 2 + [TEX]\frac{1}{x^2}[/TEX] + [TEX]x^2[/TEX] + xy + [TEX]\frac{y^2}{4}[/TEX] - xy = 2
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](x- \frac{1}{x})^2[/TEX] + [TEX](x + \frac{y}{2})^2[/TEX] - xy = 2
Mà [TEX](x- \frac{1}{x})^2[/TEX] + [TEX](x + \frac{y}{2})^2[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] 0
[TEX]\Rightarrow[/TEX] -xy [TEX]\leq[/TEX] 2 hay xy[TEX]\geq[/TEX] -2
Vậy [TEX]min (xy)[/TEX] = -2
Dấu bằng xảy ra khi: x = 1 và y = -2 hoặc x = -1 hoặc y = 2 (tự chứng minh)
Vậy (x;y) = (1;-2) hoặc (-1;2) thì xy đạt GTNN

 

[longvtpro123]

Bài 5:
a/[TEX]M = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b})(a+b+c) = a + b + c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2 + ab + ac}{b + c} + \frac{b^2 + ab + ac}{a + c} + \frac{c^2 + ac + bc}{a + b} = a + b + c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{b + c} + \frac{c^2}{a + b} + (a + b + c) = a + b + c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{b + c} + \frac{c^2}{a + b} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow N = 0[/TEX]
Vậy, [TEX]M = 1[/TEX] thì [TEX]N = 0[/TEX]
b/ Tớ không chắc lắm nhưng chắc là suy ngược lài thì [TEX]N = 0 \Rightarrow M = 1[/TEX]

 

[taixe092]

hầy, cô cũng cho mình cái đề y hệt thế này. mình còn đúng câu 3b

 

[vanmanh2001]

Câu 5b
Sau khi làm như bạn longvtpro123 ở câu a
Câu b ta sẽ tương tự làm ngược cho đến bước [TEX](\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c) = a+b+c[/TEX]
Đến đây sẽ có 2 trường hợp với[TEX] (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}) = 0 [/TEX]
hoặc [TEX]a+b+c = 0 (*)[/TEX]
Với [TEX]N=0,M=1 \Leftrightarrow (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}) = 0[/TEX]
Mà theo [TEX](*)[/TEX] thì có đến hai Th vậy với N=0 thì chưa chắc M=1