[Toán 8] đề cương học kì 2

[17912]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

%%-1/Cho tam giác ABC, các đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B; C cắt nhau tại K. Đường thẳng vuông góc với AK tại K cắt AB, AC ở D và E. Chứng minh:
a) tam giác DBK đồng dạng với EKC
b) Chứng minh : $DE^2 = 4BD . CE$

%%- 2/ Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. $a^2 +b^2+1 \ge ab+a+b$
2. $a^2+b^2+c^2 \ge a(b+c)$
3. cho a,b cùng dấu. CMR: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \ge 2$
4. $(\dfrac{a+b}{2})^2 \le \dfrac{a^2+b^2}{2}$
5. $\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1} > 0$
6. Cho a , b , c là các số dương . CMR: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$

%%- 3/ Giải và biện luận phương trình:
a) $a^2x+b= a(x+b)$ \forall a là hằng số
b) $\frac{a+x}{a-1}-\frac{a-x}{a+1} = \frac{3a}{a^2-1}$ \forall a là hằng số
c) $\frac{x+a}{x-3}+\frac{x+3}{x-a} = 2$
d) $\frac{a}{2a+2b}+\frac{a-b}{2bx} = \frac{a+b}{4b}-\frac{b}{ax+bx}$

P/s: đặt đúng tiêu đề

 

[vipboycodon]

bài 2:
a) $a^2+b^2+1 \ge ab+a+b$
<=> $a^2+b^2+1-ab-a-b \ge 0$
<=> $2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b \ge 0$
<=> $a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 \ge 0$
<=> $(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = 1$.

b) a$^2+b^2+c^2 \ge a(b+c)$
<=> $a^2+b^2+c^2-ab-ac \ge 0$
<=> $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac \ge 0$
<=> $a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2+c^2 \ge 0$
<=> $(a-b)^2+(a-c)^2+b^2+c^2 \ge 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 0$

 

[thaolovely1412]

Bài 2
2.[TEX]a^2+b^2+c^2 \geq a(b+c)[/TEX] (*)
\Leftrightarrow [TEX]2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2ac[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+b^2+c^2 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a-b)^2+(a-c)^2+b^2+c^2 \geq 0[/TEX] (**)
(**) luôn đúng nên (*) luôn đúng
Dấu"=" xảy ra khi a=b=c=0

 

[thaolovely1412]

Bài 2
3. Ta có: [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab[/TEX]
Vì a;b cùng dấu nên ab dương
Chia cả 2 vế cho ab ta có:
[TEX]\frac{a^2+b^2}{ab} \geq \frac{2ba}{ab}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2[/TEX]
Dấu"=" xảy ra khi a=b

 

[vipboycodon]

Bài 2:
d) $(\dfrac{a+b}{2})^2 \le \dfrac{a^2+b^2}{2}$
<=> $\dfrac{(a+b)^2}{4} \le \dfrac{a^2+b^2}{2}$
<=> $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$
<=> $a^2+b^2+2ab-2a^2-2b^2 \le 0$
<=> $-(a-b)^2 \le 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $a = b$

 

[thaolovely1412]

Bài 2
6. Ta có:
[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1[/TEX]
[TEX]=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
Áp dụng bđt (3) ta có:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2[/TEX]
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{c}{a} \geq 2[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3+2+2+2 =9[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

 

[thaolovely1412]

Bài 2
5. Ta có:
[TEX]a^2+a+1=a^2+a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(a+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} >0[/TEX]
[TEX]a^2-a+1=a^2-a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=(a-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} >0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1} >0[/TEX]