[Toán 8] Dạng tìm Min

[thungan6a4]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho $xy+yz+zx=8$.Tìm GTNN $x^4+y^4+z^4$
2.Cho $a+b+c+d=9$.Tìm GTNN $a^2+b^2+c^2+d^2$

 

[thieukhang61]

Bài 1: Dễ dàng chứng minh [TEX]x^2+y^2+z^2[/TEX]\geq[TEX]xy+yz+xz=8[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)[/TEX]\geq64 (1)
Lại có bất đẳng thức
[TEX]x^4+y^4+z^4[/TEX]\geq[TEX]x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2(x^4+y^4+z^4)[/TEX]\geq[TEX]2(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2)[/TEX] (2)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có [TEX]3(x^4+y^4+z^4)[/TEX]\geq64
\Leftrightarrow[TEX]x^4+y^4+z^4[/TEX]\geq21,(3)
Vậy [TEX]min (x^4+y^4+z^4)=21,(3)[/TEX]\Leftrightarrowx=y=z=1,632993162...
Tự nhiên ra số lẻ quá, không biết đúng không nữa

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
Tu\,\,\,de\,\,bai\,\,ta\,\,dat:\\
a = \frac{9}{4} + x;\,\,b = \frac{9}{4} + y;\,\,c = \frac{9}{4} + z;\,\,d = \frac{9}{4} + t\\
x + y + z + t = 0\\
\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = {(\frac{9}{4} + x)^2} + {(\frac{9}{4} + y)^2} + {(\frac{9}{4} + z)^2} + {(\frac{9}{4} + t)^2}\\
= {x^2} + \frac{9}{2}x + \frac{{81}}{{16}} + {y^2} + \frac{9}{2}y + \frac{{81}}{{16}} + {z^2} + \frac{9}{2}z + \frac{{81}}{{16}} + {t^2} + \frac{9}{2}t + \frac{{81}}{{16}}\\
= {x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + \frac{9}{2}(x + y + z + t) + \frac{{81}}{4}\\
= {x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + \frac{{81}}{4} \ge \frac{{81}}{4}\\
Vay\,\,\min ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}) = \frac{{81}}{4} \Leftrightarrow x = y = z = t = 0 \Leftrightarrow a = b = c = d = \frac{9}{4}
\end{array}\]