[Toán 8] Dạng chứng minh

[tieutu10x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số thực $x, y # 0$. Chứng minh:

$\dfrac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y^{2}} + \dfrac{y^{2}}{x^{2}}$\geq 3

 

[pinkylun]

Ta có:

$(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x})^2 \ge 0 $ \forall x,y

$=>\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge 2$ (1)

Tương tự:

$\dfrac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y^{2}} \ge \dfrac{4x^2}{x^2+y^2}$ (2)

$\dfrac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \ge \dfrac{4y^2}{x^2+y^2}$ (3)

Từ (1) (2) và (3)

$=>2[\dfrac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y^{2}} + \dfrac{y^{2}}{x^{2}})]\ge 4(\dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2})+2$

$=>\dfrac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y^{2}} + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \ge \dfrac{6}{2}=3$

$=>đpcm$