[toán 8] đại số

[tuanh_tiara@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTLN của $\dfrac{4}{x+y+z}-\dfrac{1}{3(xy+yz+zx)}$ với x,y,z là ba số thực dương
Chú ý tiêu đề ,Latex .

 

[transformers123]

Đặt $P=\dfrac{4}{x+y+z}-\dfrac{1}{3(xy+yz+zx)}$

Ta có: $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$

$\iff \dfrac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] \ge 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Ta có: $P=\dfrac{4}{x+y+z}-\dfrac{1}{3(xy+yz+zx)}$

$\iff P \le \dfrac{4}{x+y+z}-\dfrac{1}{(x+y+z)^2}$

$\iff P \le \dfrac{4}{a}-\dfrac{1}{a^2}$ (với $a=x+y+z$)

$\iff P \le \dfrac{4a-1}{a^2}$

$\iff P \le \dfrac{-4a^2+4a-1}{a^2}+4$

$\iff P \le \dfrac{-(2a-1)^2}{a^2}+4$

$\iff P \le 4$

Dấu "=" xảy ra khi $a= \dfrac{1}{2} \Longrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{6}$