[Toán 8]Đại số

[fx123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số phân biệt .Chứng minh rằng:
$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b) khác 0$
Chú ý tiêu đề

 

[thuphuongt7]

$a^4(b-c)-b^4[(b-c)+(a-b)]+c^4(a-b)$
$=(b-c)(a^4-b^4)-(a-b)(b^4-c^4)$
$=(b-c)(a-b)(a+b)(a^2+b^2)-(a-b)(b-c)(b+c)(b^2+c^2)$
$=(b-c)(a-b)(a^3+ab^2+a^2b+b^3-b^3-bc^2-b^2c-c^3)$
$=(a-b)(b-c)(a-c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$
Bạn có thể cm nó khác 0 được rồi chứ

 

[congchuaanhsang]

Ta có:B= $a^4$(b-c)+$b^4$(c-a)+$c^4$(a-b)
=$a^4$(b-c)-$b^4$[(b-c)+(a-b)]+$c^4$(a-b)
=(b-c)($a^4-b^4$)+(a-b)($c^4-b^4$)
=(b-c)(a-b)(a+b)($a^2+b^2$)-(a-b)(b-c)(b+c)($b^2+c^2$)
=(a-b)(b-c)($a^3$+$ab^2$+$ba^2$-$bc^2$-$cb^2$-$c^3$)
=(a-b)(b-c)(a-c)($a^2$+$b^2$+$c^2$+ac+ab+bc)
Xét A= $a^2$+$b^2$+$c^2$+ab+bc+ca
=$\frac{1}{2}$[$(a+b)^2$+$(b+c)^2$+$(c+a)^2$]
Giả sử A=0
\Rightarrow$(a+b)^2$+$(b+c)^2$+$(c+a)^2$=0
\Leftrightarrowa+b=0 ; b+c=0 ; c+a=0
Ta có: a+b=0\Leftrightarrowa=-b ; b+c=0\Leftrightarrowc=-b
\Rightarrowa=c (vô lý vì a,b,c phân biệt)
Vậy giả sử sai\RightarrowA khác 0
Cũng vì a,b,c phân biệt\Rightarrow(a-b)(b-c)(c-a) khác 0
\RightarrowB khác 0