[toán 8] đại số

[schoolsmart]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c thoả mãn $a^3-b^2-b = b^3-c^2-c = c^3-a^2-a = \dfrac{1}{3}$. chứng minh3:-O a=b=c

 

[angleofdarkness]

Mod sửa lại latex cho bạn ấy nhé, mình k có quyền hạn nên k sửa đc.

Từ $a^3-b^2-b= b^3-c^2-c=c^3-a^2-a= 1/3$ ta có hệ pt sau đây:
$$3a^3-3b^2-3b=1$$ (1)
$$3b^3-3c^2-3c=1$$(2)
$$3c^3-3a^2-3a=1$$(3)

Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của a,b,c ta giả sử a= max(a;b;c). Ta xét 2 trường hợp:
* a\geqb\geqc (*)
Từ (1) ta có $3a^3-3b^2-3b=1$ \geq $3a^3-3a^2-3a$ ( vì a\geqb)

\Rightarrow $3a^3-3a^2-3a-1$\leq0\Rightarrow $3a^3$\leq$3a^2+3a+1$

\Rightarrow $4a^3$\leq$(a+1)^3$ \Rightarrow $a.\sqrt[3]{4}$\leq$a+1$

\Rightarrow a\leq 1$\dfrac{1}{\sqrt[3]{4} -1}$ (4)

Từ (3) ta có $3c^3-3a^2-3a=1$ \leq $3a^3-3c^2-3c$ ( vì c\leqa)

Tương tự \Rightarrow c\geq$\dfrac{1}{\sqrt[3]{4} -1}$ (5)

Có (4) và (5) và (*) \Rightarrow $a=b=c$

* a\geqc\geqb lập luận tương tự

\Rightarrow đpcm.