[toán 8] đại khó

[vunham72]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 cm:
[TEX](a^3/a^2+ab+b^2)+(b^3/b^2+bc+c^2)+(c^3+ca+a^2)>=1/3*(a+b+c)[/TEX]
lần sau bạn nhớ học gõ tex (phần phân số mình không thể chỉnh vì mình không biết đề của bạn thì phần nào nằm ở mẫu)

 

[bigbang195]

cho a,b,c>0 cm:
(a^3/a^2+ab+b^2)+(b^3/B^2+bc+c^2)+(c^3+ca+a^2)>=1/3*(a+b+c)

[TEX]\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}[/TEX]

chỉ cần CM

[TEX]\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \ge \frac{2}{3}(a+b+c)[/TEX]

ta có [TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) [/TEX]như vậy ta chỉ cần cm bdt phụ sau

[TEX]\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} \ge \frac{1}{3}[/TEX]

Phép CM hoàn tất

 

[dainhanphaan]

cho a,b,c>0 cm:
Sừa cái đề đã ,
[TEX]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{1}{3}(a+b+c)[/TEX]

 

[dainhanphaan]

Tớ không hiểu lắm bạn Bigbang ạ , chứng minh hết từ đầu hộ tớ ,[TEX] \sum_{i=1}^k a_i^n[/TEX] nghĩa là gì vậy , sao lại vậy nhỉ , thanks cậu

 

[quan8d]

cho a,b,c>0 cm:
Sừa cái đề đã ,
[TEX] \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} >= \frac{1}{3}(a+b+c) [/TEX]

[tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+b-a+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+c-b+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}+a-c [/tex]

[tex]= \frac{a^3+b^3-a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3-b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3-c^3}{c^2+ca+a^2}[/tex]

[tex]=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow 2(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}) [/tex]

[tex]= \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}[/tex]

[tex]a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex]

cần c/m [tex]\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3} [/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3(a^2-ab+b^2) \geq a^2+ab+b^2[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2(a-b)^2 \geq 0 [/tex]đúng

[tex]\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3}[/tex]

Tương tự như trên , cuối cùng ta được :

[tex] \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2(a+b+c)}{3} [/tex]

Vậy [tex]\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}[/tex]