[Toán 8] Cực trị

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán 1: Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:
$$a+b+c\le 3$$

(Làm theo 2 cách)​

Bài toán 2: Nếu $a,b,c$ là các số không âm thì ta luôn có:
$$(a+b+c)^3-27abc+9(a-b)(b-c)(c-a) \ge 0$$
Bài toán 3: Cho các số không âm $a,b,c$ có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng:
$$12\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right) \ge 4\left(a^3+b^3+c^3\right)+21$$

(Chú ý điểm rơi)​

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 1: Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:
$$a+b+c\le 3$$

Bài 1:
Giả sử tồn tại $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ và $x+y+z>3$
Giả thiết:
$$4=\dfrac{9(x^2+y^2+z^2)}{9}+\dfrac{27xyz}{27}> \dfrac{9(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}+\dfrac{27xyz}{(x+y+z)^3}$$
$$\leftrightarrow 8(xy+yz+zx)> 5(x^2+y^2+z^2)+\dfrac{27xyz}{x+y+z}\ge 2(xy+yz+zx)+3(x^2+y^2+z^2)+\dfrac{27xyz}{x+y+z}$$
$$\to 2(xy+yz+zx)> x^2+y^2+z^2 +\dfrac{27xyz}{x+y+z}$$
$$\leftrightarrow x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)<0$$
Giả sử $x\ge y\ge z$, ta viết lại bất đẳng thức cuối:
$$(x-y)[x(x-z)-y(y-z)]+z(x-z)(y-z)<0$$
Tuy nhiên, bất đẳng thức này không đúng do $x\ge y\ge z$
Vì vậy nên không thể tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện đầu bài mà $x+y+z>3$ được. Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 1: Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng:
$$a+b+c\le 3$$

Cách thứ 2:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh tồn tại $t\ge 0$ thỏa mãn $a^2+2t^2+at^2=4 (+) \leftrightarrow a=2-t^2\le 2$
Ta kẹp thêm $t\le \sqrt{2}$ thì sẽ luôn tồn tại $t$ thỏa yêu cầu. Chú ý từ $(+)$ ta có
$$2t^2-b^2-c^2=a(bc-t^2)$$
Giả sử $2t^2> b^2+c^2$ khi và chỉ khi $bc> t^2$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $b^2+c^2\ge 2bc \to t^2>bc$ mâu thuẫn giới giả sử.
Vậy $2t^2\le b^2+c^2$ và $t^2\ge bc$
Ta sẽ chứng minh:
$$b+c\le 2t \leftrightarrow (b+c)^2\le 4t^2 \leftrightarrow (bc-t^2)(2-a) \le 0$$
Vì vậy mà:
$$\leftrightarrow a+b+c\le a+2t=-(t-1)^2+3 \le 3$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1 còn có một cách là sử dụng Dirichlet:
Giả sử $a(b-1)(c-1) \ge 0 \leftrightarrow abc+a \ge ab+ac \leftrightarrow a+b+c \le bc+a+1$
Vì vậy ta cần chứng minh $a+bc\le 2 \leftrightarrow (b-c)^2 \ge 0$
Hoàn tất chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2 dễ mà không ai làm thế nhỉ :|
Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$ và $a=c+x, b=c+y \to x,y \ge 0$
Ta sẽ chứng minh:
$$(a+b+c)^3-27abc\ge (x+y+0)^3+27xy.0$$
$$\leftrightarrow 9c(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \ge 0$$
Chú ý:
$$9(a-b)(b-c)(c-a)=-9xy(x-y)$$
$$(a+b+c)^3-27abc+9(a-b)(b-c)(c-a) \ge (x+y)^3-9xy(x-y)$$
$$=x^3+y^3-6x^2y+12xy^2=x(x^2-6xy+9y^2)+3xy^2+y^3=x(x-3y)^2+3xy^2+y^3\ge 0$$
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Phương pháp dồn biến toàn miền