[Toán 8] CMR

[maloimi456]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: $A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}$ \geq $3$. Trong đó a, b, c là 3 cạnh của tam giác

 

[vuong1512002]

ta có a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên a, b, c là 3 số nguyên dương
áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có
b+c > a\Rightarrow b+c−a>1\Rightarrow a/b+c−a\geq1
chứng minh tương tự ta có b/a+c−b\geq1
c/a+b−c\geq1
\RightarrowA=a/b+c−a+b/a+c−b+c/a+b−c >3
bạn có thể dạy mình cách viết phân số được không ?
mình không biết viết

 

[maloimi456]

Khi bạn viết bài thì có ô ở bên phải đó. Bạn thấy kí hiệu \frac{a}{b} thì nhấn vào là đc

 

[iceghost]

ta có a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên a, b, c là 3 số nguyên dương
áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có
b+c > a\Rightarrow b+c−a>1\Rightarrow a/b+c−a\geq1
chứng minh tương tự ta có b/a+c−b\geq1
c/a+b−c\geq1
\RightarrowA=a/b+c−a+b/a+c−b+c/a+b−c >3
bạn có thể dạy mình cách viết phân số được không ?
mình không biết viết

Hình như sai rồi !
Đặt $x=b+c-a \\
y=a+c-b \\
z=a+b-c$
$\implies$ $2a = y+z \\
2b = x+z \\
2c = x+y$

$A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c} \\
\implies 2A = \dfrac{2a}{b+c-a} + \dfrac{2b}{a+c-b} + \dfrac{2c}{a+b-c} \\
= \dfrac{y+z}x + \dfrac{x+z}{y} + \dfrac{x+y}{z} \\
= (\dfrac{y}x + \dfrac{x}y) + (\dfrac{z}y + \dfrac{y}z) + (\dfrac{z}x + \dfrac{x}z)$
Ta thấy $x,y,z > 0$ ( bđt tam giác )
Áp dụng cô-si cho 2 số dương
$\dfrac{y}x + \dfrac{x}y \ge 2 \\
\dfrac{z}y + \dfrac{y}z \ge 2 \\
\dfrac{z}x + \dfrac{x}z \ge 2 \\
\implies (\dfrac{y}x + \dfrac{x}y) + (\dfrac{z}y + \dfrac{y}z) + (\dfrac{z}x + \dfrac{x}z) \ge 6 \\
\implies 2A = \dfrac{2a}{b+c-a} + \dfrac{2b}{a+c-b} + \dfrac{2c}{a+b-c} \ge 6 \\
\implies A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c} \ge 3$