[Toán 8]CMR: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$ là một số chính phương

[sonad1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho a,b,c là 3 số nguyên thoả mãn ab+bc+ca=1.CMR: ([TEX]a^2[/TEX]+1)([TEX]b^2[/TEX]+1)([TEX]c^2[/TEX]+1) là một số chính phương
Bài2: Tìm k thuộc N để 2^k + 2^4 + 2^7 là một số chính phương
Bài3: Tìm x thuộc N để x^2 + 2x +200 là một số chính phương

 

[eye_smile]

Câu 3: Ta có:
x^2+2x+200=n^2
=>(x+1)^2+199=n^2(n thuộc N)
=>n^2-(x+1)^2=199
=>(n-x-1).(n+x+1)=199
Vì n+x+1>0 mà 199>0
=>n-x-1>0
Ta lại có: 199=1.199
Mặt khác: n+x+1>n-x-1( do n;x đều thuộc N)
=>n+x+1=199;n-x-1=1
=>(n+x+1)+(n-x-1)=199+1
=>2n=200
=>n=100
=>(x+1)^2=100^2-199=9801
=>x+1=99( do x thuộc N)
=>x=98
Vậy x=98

 

[eye_smile]

Câu 1:
Ta có: A=[tex]\left( {{a^2} + 1} \right).\left( {{b^2} + 1} \right).\left( {{c^2} + 1} \right)[/tex]
=[tex]\left( {{a^2} + ab + bc + ac} \right).\left( {{b^2} + ab + bc + ac} \right).\left( {{c^2} + ab + bc + ac} \right)[/tex]
=[tex]\left[ {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} \right].\left[ {b\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} \right].\left[ {c\left( {b + c} \right) + a\left( {b + c} \right)} \right][/tex]
=[tex]\left( {a + c} \right).\left( {a + b} \right).\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right).\left( {a + c} \right).\left( {b + c} \right)[/tex]
=[tex]{\left[ {\left( {a + c} \right).\left( {a + b} \right).\left( {b + c} \right)} \right]^2}[/tex] là số chính phương

 

[tiendat102]

Bài 2:
Đặt [TEX]2^k+2^4+2^7=q^2 [/TEX](q thuộc N*).
\Rightarrow [TEX]2^k+12^2=q^2 [/TEX]. Do đó :
[TEX](q-12)(q+12)=2k[/TEX]
Vì q thuộc N* nên [TEX]q+12>q-12[/TEX]. Đặt [TEX]q+12=2^n[/TEX][TEX]q-12=2^m[/TEX]
với [TEX]m+n=k;m,n[/TEX] thuộc[TEX] N[/TEX] và[TEX] n>m[/TEX]
Do đó : [TEX]2^n-2^m=24[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2^m(2^n-m-1)=24[/TEX]vì [TEX]n>m\geq 0[/TEX] nên [TEX]2^(m-n)-1[/TEX] lẻ. Do đó chỉ có thể [TEX]2^m=8[/TEX]
\Rightarrow [TEX]m=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]n=5[/TEX]
\Rightarrow [TEX]k=m+n=3+5=8[/TEX]

 

[sonad1999]

Bạn tiendat102 cho mình hỏi lại câu2 ? Mình chưa hiểu cách giải