[Toán 8] CM bđt

[smile_a2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho $a,b,c$ là các số dương. CM: $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})$ \geq $6$

 

[vanmanh2001]

Sửa lại đề bạn nhé , phải là [TEX]\geq 6[/TEX]
Ta có[TEX] (a-b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2 \geq 2ab \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2}{ab}\geq 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/TEX]
C/m tương tự
[TEX]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2+2+2 = 6[/TEX] (đpcm)

 

[duc_2605]

Dùng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ấy! BĐT này được giới thiệu ở chương BPT rồi đấy! Bài này phân tách rõ ràng tứng cặp cho bạn rồi.
1) Cho $a,b,c$ là các số dương. CM: $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})$ \geq $6$
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số a,b dương, ta có:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{a}{b} \dfrac{b}{a}} = 2$ (1)
CMTT:
$\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{a}{c} \dfrac{c}{a}} = 2$ (2)
$\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{b}{c} \dfrac{c}{b}} = 2$ (3)
Cộng từng vế của (1),(2) và (3) ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c (điều không thể quên)