[Toán 8] CM BDT đây

[th3_l0rd_0f_th3_sky]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: với mọi số thực không âm a,b,c ta có:
[TEX]\frac{a}{b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{b}{c+a}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{a+b}[/TEX]\geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

Bài này nũa ne`:
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn [TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]=3. CMR:
[TEX]\frac{a}{a^2+2b+3}[/TEX]+ [TEX]\frac{b}{b^2+2c+3}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{c^2+2a+3}[/TEX]\leq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

 

[trydan]

Với

ta có

(đpcm)

 

[quan8d]

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn [TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]=3. CMR:
[TEX]\frac{a}{a^2+2b+3}[/TEX]+ [TEX]\frac{b}{b^2+2c+3}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{c^2+2a+3} [/TEX]\leq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

Ta có :[TEX]\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3} \leq \frac{a}{2(a+b+1)}+\frac{b}{2(b+c+1)}+\frac{c}{2(c+a+1)}[/TEX]
Cần c/m [TEX]\frac{a}{2(a+b+1)} + \frac{b}{2(b+c+1)} + \frac{c}{2(c+a+1)} \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2 \leq 1-\frac{a}{2(a+b+1)}+1-\frac{b}{2(b+c+1)}+1-\frac{c}{2(c+a+1)} = \frac{b+1}{a+b+1} + \frac{c+1}{b+c+1} + \frac{a+1}{c+a+1} [/TEX]
Áp dụng BĐT BCS ta có : [TEX] \frac{b+1}{a+b+1} + \frac{c+1}{b+c+1} + \frac{a+1}{c+a+1} \geq \frac{(b+1+c+1+a+1)^2}{(b+1)(a+b+1)+(c+1)(b+c+1)+(a+1)(c+a+1)} = \frac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+3(a+b+c)+ab+bc+ca+3} = \frac{(a+b+c+3)^2}{\frac{1}{2}(a+b+c+3)^2} = 2 [/TEX] ( đpcm )

 

[816554]

CMR: với mọi số thực không âm a,b,c ta có:
[TEX]\frac{a}{b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{b}{c+a}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{a+b}[/TEX]\geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

giải:
[TEX]\frac{a}{b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{b}{c+a}[/TEX]+ [TEX]\frac{c}{a+b}[/TEX]\geq [TEX]\frac{3}{2}[/TEX] (1)
\Leftrightarrow [TEX]\frac{a+b+c}{b+c} +\frac{b+a+c }{a+c } +\frac{c+a+b}{a+b}\geq \frac{9}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](2a+2b+2c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX][(a+b) + (a+c) + (b+c)](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}) \geq 9[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{(a+b)+(b+c) + (a+c)}{a+b} + \frac{(a+b)+(a+c)+ (c+b)}{b+c} + \frac{(a+b) + (a+c) + (b+c)}{a+c} \geq 9[/TEX]
sau đó bạn áp dụng bất đẳng thức quen thuộc[TEX] (x+y+z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})\geq 9 [/TEX]
vì đẳng thức luôn luôn đúng nên (1) luôn đúng

 

[girltoanpro1995]

Với

ta có

(đpcm)

Trydan ơi, cái này người ta nói ko âm chứ ko phải là a, b, c > 0. Là ko âm thì có thể ''=0'' bạn ak`. Thân.

 

[01263812493]

Trydan ơi, cái này người ta nói ko âm chứ ko phải là a, b, c > 0. Là ko âm thì có thể ''=0'' bạn ak`. Thân.

Nếu 1 trong 3 số bằng 0 thì [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX] không xác định dc rồi
____________

 

[th3_l0rd_0f_th3_sky]

Tiếp nhé: CM BDT:
[TEX]\frac{1}{c^2+a+b}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{a^2+b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^2+a+c}[/TEX][TEX]\leq[/TEX]1
Với a,b,c không âm, a+b+c=3

 

[tell_me_goobye]

Tiếp nhé: CM BDT:
[TEX]\frac{1}{c^2+a+b}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{a^2+b+c}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{b^2+a+c}[/TEX][TEX]\leq[/TEX]1
Với a,b,c không âm, a+b+c=3

theo AM GM thì [TEX] c^2+1 \geq 2c[/TEX]
BDT viết lại thành

[TEX]\sum \frac{1}{(c^2+1)+a+b -1} \leq \sum \frac{1}{2c+a+b-1}= [/TEX]
[TEX]\sum \frac{1}{a+2} [/TEX]

ta chỉ cần CM [TEX]\sum \frac{1}{a+2} \leq 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{2}{a+2} \leq2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+2} \geq 1[/TEX]
đến đây dễ rồi

 

[0915549009]

theo AM GM thì [TEX] c^2+1 \geq 2c[/TEX]
BDT viết lại thành

[TEX]\sum \frac{1}{(c^2+1)+a+b -1} \leq \sum \frac{1}{2c+a+b-1}= [/TEX]
[TEX]\sum \frac{1}{a+2} [/TEX]

ta chỉ cần CM [TEX]\sum \frac{1}{a+2} \leq 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{2}{a+2} \leq2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+2} \geq 1[/TEX]
đến đây dễ rồi

Mih mới học lớp 8 thui nên bạn dùng kí hiệu [TEX] \sum [/TEX] này hơi khó hiểu

 

[ak_47]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{2}{a+2} \leq2 [/TEX]

Trái dấu .

 

[0915549009]

Cho a, b, c trong đó có nhiều nhất 1 số = 0 (khi đó, 2 số còn lại > 0)
CM: [TEX] 2ab + 2bc + 2ac \leq a^2 + b^2 +c^2 [/TEX]
P/s: Sử dụng giả thiết a + b + c = 1 (nếu cần)

 

[01263812493]

Cho a, b, c trong đó có nhiều nhất 1 số = 0 (khi đó, 2 số còn lại > 0)
CM: [TEX] 2ab + 2bc + 2ac \geq a^2 + b^2 +c^2 [/TEX]

Trái dấu rồi. Nếu a=0[TEX]\Rightarrow 2bc \geq b^2+c^2 \Leftrightarrow 0\geq (b-c)^2[/TEX] vô lí

 

[0915549009]

Vs a = 0 thì ta có đpcm. Vậy khi vs a, b, c khac thì sao? Các bạn CM hộ mih vs.............

 

[lelinh19lucky]

thử
a=b=c=1/3 bdt không đúng
nên mình nghĩ vẫn có dk 1 trong các số =0 thì đúng
a,b,c khác 0 không ổn

 

[0915549009]

2ab+2ac+2bc<=a^2+b^2+c^2
bdt<=>4ab+4ac+4bc<=2a^2+2b^2+2c^2
<=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
bdt luôn đúng
còn 1 trong các số đó bằng 0 thì dễ òi

Nhân 2 vế vs 2 thì sau khi chuyển 2 (ab + bc + ca) thì vẫn còn 2 (ab + bc + ca) ở vế đó nên bạn CM như vậy là ckua đc j` cả.

 

[quan8d]

Cho a, b, c trong đó có nhiều nhất 1 số = 0 (khi đó, 2 số còn lại > 0)
CM: [TEX] 2ab + 2bc + 2ac \leq a^2 + b^2 +c^2 [/TEX]
P/s: Sử dụng giả thiết a + b + c = 1 (nếu cần)

Với [TEX]a = 0[/TEX] thì đúng rồi
Đặt : [TEX]a = \frac{1}{3}+x , b = \frac{1}{3}+y , c = \frac{1}{3}+z ( x , y , z \in Z )[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x+y+z = 0[/TEX]
~:>[TEX]ab = \frac{1}{9}+\frac{1}{3}(x+y)+xy[/TEX]
~:>[TEX]bc = \frac{1}{9}+\frac{1}{3}(y+z)+yz[/TEX]
~:>[TEX]ca = \frac{1}{9}+\frac{1}{3}(z+x)+zx[/TEX]
[TEX]\Rightarrow2(ab+bc+ca) = 2+2(xy+yz+zx)[/TEX]
~:>[TEX]a^2+b^2+c^2 = 1+x^2+y^2+z^2[/TEX]
nên [TEX]2(ab+bc+ca) \leq a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1+2(xy+yz+zx) \leq x^2+y^2+z^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 0 \leq 2(x^2+y^2+z^2) [/TEX], đúng
Xin lỗi mọi người mình bấm máy nhầm nên sai .:-SS

 

[ak_47]

Sao bạn không thử a=b=c .Điều kiện chẳng có ý nghĩa gì với BDT thuần nhất